Etude polynôme du troisième degré pour les sommes de carrés

Bonjour,
Alors voila j'ai vraiment besoin de votre aide car la je vais pas y arriver, j'ai un dm a rendre pour la rentrer et des l'exercice 1 je rame voila l'exercice:
Soit le polynôme $f(x)=ax^3$ +bx²+cx+d avec a≠0

Déterminer les réels a, b, c et d tels que pour tout x réel, f(x+1)- f(x)=x² et f(1)=0
(on pourra utiliser l'identité remarquable (A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³).
Démonter que pour tout entier ≥1,
1²+2²+...+n² = f(n+1).
En déduire que:
1²+2²+...+n²=(n(n+1)(2n+1))/6.
En déduire la somme des carrés des :
a. 10 premiers entiers supérieurs ou égaux à 1:
b. 100 premiers entiers supérieurs ou égaux à 1.

Voila j'espere que quelqu'un pourra m'aider . Merci

salut

essaie déjà de traduire f(x+1)- f(x)=x² avec ce que demande l'énoncé : f(x)=ax³+bx²+cx+d.

et qu'implique f(1)=0 ?

re

excuse moi pour hier et merci de repondre, je comprend toujours pas comment je peut faire et f(1)=0 pour moi sa veut dire que si x=1 alors ax³+bx²+cx+d=0?
svp aidez moi et merci a tout ce qui m'aide!

oui en partie : tu dois remplacer x par 1 et donc écrire a + b + c + d = 0.

bon alors le début :

f(x+1)- f(x)=x² s'écrit avec f(x) = ax³ + bx² + cx + d

a(x+1)³ + b(x+1)² + c(x+1) + d - [ax³ + bx² + cx + d] = x².

je te laisse développer-réduire le membre de gauche.

Ok pour sa
a(x+1)³ + b(x+1)² + c(x+1) + d - [ax³ + bx² + cx + d]
mais pourquoi apres d tu mets -...

parce que tu as demandé que ce soit f(x+1)
-f(x), non ?

A wé je suis bête b1 je devellope et je te dit quoi merci

slt je trouve a³+b²+c=x²
sa fé sa ou pa ??

Voila ce que je trouve je pense avoir faux :
3ax³+x²-bx²+4ac-cx+2x+c+1=x²

Je suis vraiment mal a ouai?
Merci Zauctore

re.
j'ai plutôt après réduction : 3ax² + (2b+3)x + a+b+c = x².
car plein de choses se simplifient. vérifie.

Comment tu fait tu simplifie ce que j'ai ou ce que j'ai c'est faux faut que je recommence tout?

j'ai refait le dévelopement de mon côté.

attends je te le donne :

$a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) + d - ax^3 - bx^2 - cx - d = x^2$

revient à

$ax^3 + a + 3ax^2 + 3ax + bx^2 + b + 2bx + cx + c - ax^3 - bx^2 - cx - d = x^2$

d'où

$3ax^2 + (2b+3a)x + a + b +c = x^2$

j'avais oublié un "a" tout à l'heure !

ok ?

Ok... mais je comprend pas ton devellopement si on a a(x+1)³
quand tu devellope je comprend pas parceque d'apres l'ennocer on utilise(A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³)

[ce qui est curieux c'est qu'elle (ta signature) apparaisse encore dans les récédents posts.]

bon alors je reprends : l'identité qui t'es donnée, (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ peut être mise sous une autre forme identique en réalité - celle que j'utilise est a³ + b³ + 3ab² + 3a²b par habitude.

donc avec (x+1)³, on a bien x³ + 1³ + 3x + 3x² avec mon expression et x³ + 3x² + 3x + 1³ avec la formule de ton sujet.

ne soit pas prisonnier de ce genre de détail.

Ok merci je redevellope

donc voila zauctore j'ai fait le developpement et j'obtient le meme resultat que toi, donc f(x+1)-f(x)=3ax³+x(3a+2b)+a+b+c et f(1)=a+b+c+d
c'est ca ou pas ??
Pour information je suis dans la meme classe que thewizard59 et nous travaillons en commun.

Moi ossi je trouve f(x+1)-f(x) 3ax³+x(3a+2b)+a+b+c =x²
et f(1)=a+b+c+d
mais une fois qu'on a sa on fait quoi? Esque il faut faire par identification?

voilà une identification.

il faut trouver des valeurs pour a, b, c et d qui conviennent.

ok mais il faut utiliser 3ax²+x(3a+2b)+a+b+c et a+b+c+d?

Moi non plus je ne comprends pas trop les identifications... si tu peux m'éclairer dessus???

3ax²+x(3a+2b)+a+b+c = x² et pas 3ax³, hein.

par identification
vous en déduisez a
vous en déduisez 3a+2b, donc b
et enfin a+b+c d'où c.

il y a ensuite un lien avec d par le fait que a+b+c+d = 0.

je suis vrament perdu... si tu peux marquer les calculs que tu fais stp

Effectivement c'est 3ax² c'est parceque j'ai fait copier coller sur abdelninho et par identification je trouve que a=3 b=9/2 et c=-14 et d=0 c'est sa?

vérifie : est ce que f(x) = 3x³ + 9/2 x² + 14 x permet d'avoir f(x+1) - f(x) = x² ?

il y a un peu de calcul à faire pour vérifier ça.

Je comprend pas je devellope f(x) et je doit tomber sur x²?

mais non : il faut vérifier si ta prop pour f(x) est bonne

pour cela tu calcules avec cette expression la valeur d f(x+1) - f(x) ; normalement ça doit redonner x² tout seul...

Euh je trouve pas du tout x²

Donc a=3 b=9/2 et c=-14 et d=0 c'est pas bon ?

pfou !
j'ai pas trop envie de me farcir les calculs à l'heure de la sieste lol
on reverra tout ça plus tard, ok ?
là je me déconnecte.

Ok pas de probleme merci pour ton aide...

re, les gars.

alors

$3ax^2+x(3a+2b)+a+b+c = x^2$

donne déjà $\frac13$

ensuite $3 a + 2 b = 0$ d'où $-\frac12$

et enfin $a + b + c = 0$ d'où $\frac16$ .

je vous laisse trouver d.

Okok merci a demain...

Et j'allais oublier je trouve que d=0 et apres en verifiant je trouve bien x² parceque en remplacant a b c et d dans l'expression 3ax²+x(3a+2b)+a+b+c on a:
x²+x-x+1/3-1/2*1/6 qui donne bien x²
Merci de ton aide... Voila une journée pour reussir une question je suis mal....

très bien ! alors maintenant passe à la suite.

on retiendra donc, arrivés là que le polynôme
$\frac13,x^3 - \frac12,x^2 + \frac16,x$
permet d'écrire
$f(x+1) - f(x) = x^2$
rq : ce n'est pas un exercice si facile que ça en 1re, quand même si ça peut te rassurer.

Merci de me rassurer c'est gentil parceque la je galere vraiment!
Pour la question 2 c'est du chinois il nous demande des trucs que on a jamais fait! En tout cas il faut utiliser la question une mais je voit pas comment faire....

remarque déjà pour commencer que 1² = f(1+1) - f(1), c'est-à-dire que 1² = f(2) - f(1).

et ainsi de suite.

Ok mais je m'arrete a cb de chiffre? Et je fait apres sa va me donner quoi

Re
je me suis arrêter a 3 et pour l'instant sa marche bien pour x=1 je trouve 3/3 qui donne 1 √1 1 x=2 je trouve 24/6 donne 4 √4 sa fait bien 2 et x=3 donne 54/6 qui fait 9 et √9 donne bien 3.
POur l'instant j'ai compris mais avec sa je dois faire quoi?

énoncé
2. Démonter que pour tout entier ≥1,
1²+2²+...+n² = f(n+1).

1² = f(2) - f(1)

2² = f(3) - f(2)

3² = f(4) - f(3)

4² = f(5) - f(4)

donc 1² + 2² + 3² + 4² = f(5) - f(1) = f(5).

tu es d'accord ?

et ainsi de suite.

écris les égalités similaires jusqu'à n (enfin, avec des points de suspension qq part).

f(5) d accord mais pk f(5)-f(1)=f(5)