Etude polynôme du troisième degré pour les sommes de carrés

[unknown]

Bonjour,
Alors voila j'ai vraiment besoin de votre aide car la je vais pas y arriver, j'ai un dm a rendre pour la rentrer et des l'exercice 1 je rame voila l'exercice:
Soit le polynôme $f(x)=a{x}^3$+bx²+cx+d avec a≠0

1. Déterminer les réels a, b, c et d tels que pour tout x réel, f(x+1)- f(x)=x² et f(1)=0
   (on pourra utiliser l'identité remarquable (A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³).
2. Démonter que pour tout entier ≥1,
   1²+2²+...+n² = f(n+1).
3. En déduire que:
   1²+2²+...+n²=(n(n+1)(2n+1))/6.
4. En déduire la somme des carrés des :
   a. 10 premiers entiers supérieurs ou égaux à 1:
   b. 100 premiers entiers supérieurs ou égaux à 1.

Voila j'espere que quelqu'un pourra m'aider . Merci

[Zauctore]

salut

1. essaie déjà de traduire f(x+1)- f(x)=x² avec ce que demande l'énoncé : f(x)=ax³+bx²+cx+d.

et qu'implique f(1)=0 ?

[unknown]

re

excuse moi pour hier et merci de repondre, je comprend toujours pas comment je peut faire et f(1)=0 pour moi sa veut dire que si x=1 alors ax³+bx²+cx+d=0?
svp aidez moi et merci a tout ce qui m'aide!

[Zauctore]

oui en partie : tu dois remplacer x par 1 et donc écrire a + b + c + d = 0.

bon alors le début :

f(x+1)- f(x)=x² s'écrit avec f(x) = ax³ + bx² + cx + d

a(x+1)³ + b(x+1)² + c(x+1) + d - [ax³ + bx² + cx + d] = x².

je te laisse développer-réduire le membre de gauche.

[unknown]

Ok pour sa
a(x+1)³ + b(x+1)² + c(x+1) + d - [ax³ + bx² + cx + d]
mais pourquoi apres d tu mets -...

[Zauctore]

parce que tu as demandé que ce soit f(x+1)
-f(x), non ?

[unknown]

A wé je suis bête b1 je devellope et je te dit quoi merci

[abdelninho]

slt je trouve a³+b²+c=x²
sa fé sa ou pa ??

[unknown]

Voila ce que je trouve je pense avoir faux :
3ax³+x²-bx²+4ac-cx+2x+c+1=x²

Je suis vraiment mal a ouai?
Merci Zauctore

[Zauctore]

re.
j'ai plutôt après réduction : 3ax² + (2b+3)x + a+b+c = x².
car plein de choses se simplifient. vérifie.

[unknown]

Comment tu fait tu simplifie ce que j'ai ou ce que j'ai c'est faux faut que je recommence tout?

[Zauctore]

j'ai refait le dévelopement de mon côté.

attends je te le donne :

$a(x+1{)}^3+b(x+1{)}^2+c(x+1)+d-a{x}^3-b{x}^2-cx-d=x^2$

revient à

$a{x}^3+a+3a{x}^2+3ax+b{x}^2+b+2bx+cx+c-a{x}^3-b{x}^2-cx-d=x^2$

d'où

$3a{x}^2+(2b+3a)x+a+b+c=x^2$

j'avais oublié un "a" tout à l'heure !

ok ?

[unknown]

Ok... mais je comprend pas ton devellopement si on a a(x+1)³
quand tu devellope je comprend pas parceque d'apres l'ennocer on utilise(A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³)

[Zauctore]

[ce qui est curieux c'est qu'elle (ta signature) apparaisse encore dans les récédents posts.]

bon alors je reprends : l'identité qui t'es donnée, (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ peut être mise sous une autre forme identique en réalité - celle que j'utilise est a³ + b³ + 3ab² + 3a²b par habitude.

donc avec (x+1)³, on a bien x³ + 1³ + 3x + 3x² avec mon expression et x³ + 3x² + 3x + 1³ avec la formule de ton sujet.

ne soit pas prisonnier de ce genre de détail.

[unknown]

Ok merci je redevellope

[abdelninho]

donc voila zauctore j'ai fait le developpement et j'obtient le meme resultat que toi, donc f(x+1)-f(x)=3ax³+x(3a+2b)+a+b+c et f(1)=a+b+c+d
c'est ca ou pas ??
Pour information je suis dans la meme classe que thewizard59 et nous travaillons en commun.

[unknown]

Moi ossi je trouve f(x+1)-f(x) 3ax³+x(3a+2b)+a+b+c =x²
et f(1)=a+b+c+d
mais une fois qu'on a sa on fait quoi? Esque il faut faire par identification?

[Zauctore]

voilà une identification.

il faut trouver des valeurs pour a, b, c et d qui conviennent.

[unknown]

ok mais il faut utiliser 3ax²+x(3a+2b)+a+b+c et a+b+c+d?

[abdelninho]

Moi non plus je ne comprends pas trop les identifications... si tu peux m'éclairer dessus???

[Zauctore]

3ax²+x(3a+2b)+a+b+c = x² et pas 3ax³, hein.

par identification
vous en déduisez a
vous en déduisez 3a+2b, donc b
et enfin a+b+c d'où c.

il y a ensuite un lien avec d par le fait que a+b+c+d = 0.

[abdelninho]

je suis vrament perdu... si tu peux marquer les calculs que tu fais stp

[unknown]

Effectivement c'est 3ax² c'est parceque j'ai fait copier coller sur abdelninho et par identification je trouve que a=3 b=9/2 et c=-14 et d=0 c'est sa?

[Zauctore]

vérifie : est ce que f(x) = 3x³ + 9/2 x² + 14 x permet d'avoir f(x+1) - f(x) = x² ?

il y a un peu de calcul à faire pour vérifier ça.

[unknown]

Je comprend pas je devellope f(x) et je doit tomber sur x²?

[Zauctore]

mais non : il faut vérifier si ta prop pour f(x) est bonne

pour cela tu calcules avec cette expression la valeur d f(x+1) - f(x) ; normalement ça doit redonner x² tout seul...

[unknown]

Euh je trouve pas du tout x²

[unknown]

Donc a=3 b=9/2 et c=-14 et d=0 c'est pas bon ?

[Zauctore]

pfou !
j'ai pas trop envie de me farcir les calculs à l'heure de la sieste lol
on reverra tout ça plus tard, ok ?
là je me déconnecte.

[unknown]

Ok pas de probleme merci pour ton aide...

[Zauctore]

re, les gars.

alors

$3a{x}^2+x(3a+2b)+a+b+c=x^2$

donne déjà $a=\frac{1}{3}$

ensuite $3a+2b=0$ d'où $b=-\frac{1}{2}$

et enfin $a+b+c=0$ d'où $c=\frac{1}{6}$.

je vous laisse trouver d.

[unknown]

Okok merci a demain...

[unknown]

Et j'allais oublier je trouve que d=0 et apres en verifiant je trouve bien x² parceque en remplacant a b c et d dans l'expression 3ax²+x(3a+2b)+a+b+c on a:
x²+x-x+1/3-1/2*1/6 qui donne bien x²
Merci de ton aide... Voila une journée pour reussir une question je suis mal....

[Zauctore]

très bien ! alors maintenant passe à la suite.

on retiendra donc, arrivés là que le polynôme
$f(x)=\frac{1}{3},x^3-\frac{1}{2},x^2+\frac{1}{6},x$
permet d'écrire
$f(x+1)-f(x)=x^2$
rq : ce n'est pas un exercice si facile que ça en 1re, quand même si ça peut te rassurer.

[unknown]

Merci de me rassurer c'est gentil parceque la je galere vraiment!
Pour la question 2 c'est du chinois il nous demande des trucs que on a jamais fait! En tout cas il faut utiliser la question une mais je voit pas comment faire....

[Zauctore]

remarque déjà pour commencer que 1² = f(1+1) - f(1), c'est-à-dire que 1² = f(2) - f(1).

et ainsi de suite.

[unknown]

Ok mais je m'arrete a cb de chiffre? Et je fait apres sa va me donner quoi

[unknown]

Re
je me suis arrêter a 3 et pour l'instant sa marche bien pour x=1 je trouve 3/3 qui donne 1 √1 1 x=2 je trouve 24/6 donne 4 √4 sa fait bien 2 et x=3 donne 54/6 qui fait 9 et √9 donne bien 3.
POur l'instant j'ai compris mais avec sa je dois faire quoi?

[Zauctore]

énoncé
2. Démonter que pour tout entier ≥1,
1²+2²+...+n² = f(n+1).

1² = f(2) - f(1)

2² = f(3) - f(2)

3² = f(4) - f(3)

4² = f(5) - f(4)

donc 1² + 2² + 3² + 4² = f(5) - f(1) = f(5).

tu es d'accord ?

et ainsi de suite.

écris les égalités similaires jusqu'à n (enfin, avec des points de suspension qq part).

[unknown]

f(5) d accord mais pk f(5)-f(1)=f(5)