Algèbre : nombres impairs consécutifs

[B0um]

Bonsoir, j'aurais besoin de votre aide pour l'exercice suivant :

1. n désigne un entier positif.
   a) Prouvez que les nombres 2n+1 , 2n+3 et 2n+5 sont trois entiers impairs consécutifs dans la suite des nombres impairs.
   b) Démontrez que :
   (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6(n+1)+3
2. Trouvez trois nombres impairs consécutifs dans la suite des nombres impairs, dont la somme est 2001.
   3.a) Quel est le reste de la division par 6 de chacun des nombres suivant :
   1+3+5 ; 13+15+17 ; 99+101+103 .
   b) Plus généralement, quel est le reste de la division par 6 de la somme de trois nombres impairs consécutifs (dans la suite des nombres impairs) ?

Voici mes réponses :

1. a) Un entier pair est de la forme 2n où n appartient à N.
   Un entier impair est de la forme 2n+1 où n appartient à N.
   Donc 2n+1, 2n+3 et 2n+5 sont des nombres impairs.
   Les nombres 1, 3 et 5 sont les trois premiers nombres impairs donc ils sont consécutifs dans la suite des nombres impairs.
   Par conséquent 2n+1,2n+3 et 2n+5 sont trois entiers impairs consécutifs dans la suite des nombres impairs.
   b) (2n+1)+(2n+3)+(2n+5) = 2n+2n+2n+1+3+5=6n+9
   6(n+1)+3= 6n+61+3=6n+9
   Donc (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6(n+1)+3.
2. 2001= 665+667+669
3. a) 1+3+5 : reste 0
   13+15+17 : reste 3
   99+101+103 : reste 3
   b) Le reste est un diviseur de 6.

Qu'en pensez-vous?
Merci de votre réponse.
Cordialement.

[tethys]

Pour la reponse
3a) il reste toujours 3
3b)en effet (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)= 6(n+1)+3 -->
donc leur somme peut s'ecrire
6(N+1) + 3 --> le reste est toujours 3 dans le cas de la division par
6

[B0um]

Merci :D.
Le reste de mes réponses sont-elles justes ?

[tethys]

D'après moi, oui.

[B0um]

D'accord, je vous remercie infiniment.
Bonne fin de soirée et bonne nuit.

[tethys]

Egalement.