equation symétrique du quatrième degré



  • bonjour ! J'ai un DM à faire et je comprends pas du tout comment faire ! et c'est pour le jeudi de la rentrée donc je suis perdue!
    Voici le sujet :

    (E) désigne l'équation x4x^4 - 4x³ + 2x² - 4x + 1 = 0

    a) vérifier que 0 n'est pas solution de (E)

    b) démontrer que si x0x_0 est solution de (E) alors 1/x01/x_0 est solution de (E).

    c) démontrer que l'équation (E) est équivalente à l'équation x² - 4x +2 - 4/x + 1/x² = 0

    d) développer ( x + 1/x )²

    e) en posant X= x+ 1/x, démontrer que l'équation x² - 4x +2 - 4/x + 1/x² = 0 se ramène à une équation du second degré.

    f) Résoudre l'équation du second degré, puis en déduire les solutions de l'équation (E)



  • Salut.

    a) Appelons la fonction f telle que f(x)=x4f(x)=x^4-4x³+2x²-4x+1. Dans ce cas l'équation (E) est équivalente à f(x)=0, d'accord ? Dans ce cas calcule f(0). Si f(0)≠0, alors 0 n'est pas solution de (E). 😄

    b) Tu sais que f(x0f(x_0)=0. Donc maintenant calcule f(1/x0f(1/x_0). En mettant tout au même dénominateur tu devrais arriver à quelque chose. 😉

    c) Comme x≠0, tu dois pouvoir effectuer une certaine division. 😁

    d) Un simple calcul, une identité remarquable qui plus est, tu devrais pouvoir y arriver. :razz:

    e) Il doit y avoir un lien avec la question précédente, sinon exprime x en fonction de X avant de commencer, ce sera plus simple.

    f) Une résolution classique, on verra une fois que tu en seras là. 😉

    @+



  • c'est gentil de m'aider 😃
    pour la question b) je ne vois pas comment il faut faire.
    pour la c) j'aurais divisé (E) par l'équation équivalente c'est comme ca ?



  • pour la b), comme jeet-chris te le dit, tu calcules f(1/x0f(1/x_0) : tu remplaces x par 1/x01/x_0 dans l'expression de f(x) et tu essaies de montrer que ça fait en tout ... 0.



  • je n'y arrive pas :frowning2: 😢



  • ok du calme et regarde. je prends f(x)=x44x3+2x24x+1\small f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 4x + 1 et je fais ce que j'ai dit juste au-dessus.

    f(x0)=(1x0)44(1x0)3+2(1x0)24(1x0)+1\small f(x_0) = \left(\frac{1}{x_0}\right)^4 -4 \left(\frac{1}{x_0}\right)^3 +2\left(\frac{1}{x_0}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{x_0}\right) + 1

    maintenant c'est à toi de travailler sur cette expression : règles de calcul sur les puissances, mise au même dénominateur, etc.



  • ok merci mais le x indice 0 est égal à quoi ?



  • pour la question c) e) et f) pourrais-t-on m'aider ?



  • Si tu ne comprends pas la notation x0x_0 appelle le a !

    Et la question devient :
    si a est solution de (E) alors montrer que 1/a est solution de (E).

    Dire que a est solution de (E) veut dire que .....

    et regarde ce qui se passe qnad tu remplaces x par 1/a



  • Pour la c) il faut mettre en facteur x2x^2 dans

    x4x^4 - 4x³ + 2x² - 4x + 1



  • pourrais-t-on m'aider à faire la question b) e) et f) s'il vous plait ?
    merci beaucoup ! 😉



  • Zauctore

    f(x0)=(1x0)44(1x0)3+2(1x0)24(1x0)+1\small f(x_0) = \left(\frac{1}{x_0}\right)^4 -4 \left(\frac{1}{x_0}\right)^3 +2\left(\frac{1}{x_0}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{x_0}\right) + 1

    maintenant c'est à toi de travailler sur cette expression : règles de calcul sur les puissances, mise au même dénominateur, etc.

    j'ai déjà bien répondu pour la b), tu ne trouves pas ?

    en avançant davantage dans les calculs, voici ce que ça donne

    f(x0)=(1x0)44(1x0)3+2(1x0)24(1x0)+1=14x0+2x024x03+x04x04\small f(x_0) = \left(\frac{1}{x_0}\right)^4 -4 \left(\frac{1}{x_0}\right)^3 +2\left(\frac{1}{x_0}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{x_0}\right) + 1 = \frac{1 - 4x_0 + 2x_0^2 - 4x_0^3 + x_0^4}{x_0^4}

    et ... qu'est-ce que tu retrouves au numérateur ?



  • je retrouve 0 au numérateur ?



  • oui !

    je mets encore un lien vers un sujet semblable :

    discuss entre pathi et moi



  • ahh merci beaucoup pour ton aide !



  • mais pour la question " en posant X= x + 1/x , démontrer que l'équation x² - 4x +2 -4/x + 1/x² = 0 se ramène à une équation du second degré "
    je ne vois trop comment il faut que je procède



  • lol il me semble que ça a pourtant été fait en détail dans l'un ou l'autre lien que j'ai filé sur les deux sujets...

    déjà tu as dû voir que X² = (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2, oui ?

    maintenant dans ton expression
    x²- 4x

    • 2- 4/x
    • 1/x², tu ne retrouverais pas X² par hasard ? et aussi X ?


  • oh mon dieu qu'est ce que je suis bête !



  • j'ai bien reussi je pense j'ai trouvé delta = 32 puis u1 = 1- √2 puis u2 = 1+√2
    mais pour le reste je bloque



  • sans doute (?) veux-tu déjà parler de l'équation X² - 4X = 0, donc les solutions sont X=0 et X=4.

    ensuite tu as X = x + 1/x soit ici deux cas de figure : x + 1/x = 0 ou x + 1/x = 4

    le premier cas de figure donne x²+1 = 0 qui n'a pas de solution

    le deuxième cas de figure donne x² - 4x + 1 = 0 soit x = 2+√3 ou x=2-√3.

    moralité : je ne sais à quoi correspondent les racines que tu proposes.



  • ah d'accord en fait j'ai suivi l'exemple de l'un des liens que tu m'as envoyé mais je crois que le raisonnement n'était pas bon !
    Merci beaucoup !



  • ok.

    rq : lorsqu'on suit les liens, il ne faut pas oublier d'avoir un oeil critique sur les posts !

    tu peux essayer de résoudre avec la méthode de ton exo l'équation je ne sais pas, moi, par exemple x4x^4 + 3x33x^3 - 10x210x^2 + 3x + 1 = 0.


 

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