equation symétrique du quatrième degré

bonjour ! J'ai un DM à faire et je comprends pas du tout comment faire ! et c'est pour le jeudi de la rentrée donc je suis perdue!
Voici le sujet :

(E) désigne l'équation $x^4$ - 4x³ + 2x² - 4x + 1 = 0

a) vérifier que 0 n'est pas solution de (E)

b) démontrer que si $x_0$ est solution de (E) alors $1/x_0$ est solution de (E).

c) démontrer que l'équation (E) est équivalente à l'équation x² - 4x +2 - 4/x + 1/x² = 0

d) développer ( x + 1/x )²

e) en posant X= x+ 1/x, démontrer que l'équation x² - 4x +2 - 4/x + 1/x² = 0 se ramène à une équation du second degré.

f) Résoudre l'équation du second degré, puis en déduire les solutions de l'équation (E)

Salut.

a) Appelons la fonction f telle que $f(x)=x^4$ -4x³+2x²-4x+1. Dans ce cas l'équation (E) est équivalente à f(x)=0, d'accord ? Dans ce cas calcule f(0). Si f(0)≠0, alors 0 n'est pas solution de (E).

b) Tu sais que $f(x_0$ )=0. Donc maintenant calcule $f(1/x_0$ ). En mettant tout au même dénominateur tu devrais arriver à quelque chose.

c) Comme x≠0, tu dois pouvoir effectuer une certaine division.

d) Un simple calcul, une identité remarquable qui plus est, tu devrais pouvoir y arriver. :razz:

e) Il doit y avoir un lien avec la question précédente, sinon exprime x en fonction de X avant de commencer, ce sera plus simple.

f) Une résolution classique, on verra une fois que tu en seras là.

@+

c'est gentil de m'aider
pour la question b) je ne vois pas comment il faut faire.
pour la c) j'aurais divisé (E) par l'équation équivalente c'est comme ca ?

pour la b), comme jeet-chris te le dit, tu calcules $f(1/x_0$ ) : tu remplaces x par $1/x_0$ dans l'expression de f(x) et tu essaies de montrer que ça fait en tout ... 0.

je n'y arrive pas :frowning2:

ok du calme et regarde. je prends $f(x)=x4−4x3+2x2−4x+1\small f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 4x + 1$ et je fais ce que j'ai dit juste au-dessus.

$f(x0)=(1x0)4−4(1x0)3+2(1x0)2−4(1x0)+1\small f(x_0) = \left(\frac{1}{x_0}\right)^4 -4 \left(\frac{1}{x_0}\right)^3 +2\left(\frac{1}{x_0}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{x_0}\right) + 1$

maintenant c'est à toi de travailler sur cette expression : règles de calcul sur les puissances, mise au même dénominateur, etc.

ok merci mais le x indice 0 est égal à quoi ?

pour la question c) e) et f) pourrais-t-on m'aider ?

Si tu ne comprends pas la notation $x_0$ appelle le a !

Et la question devient :
si a est solution de (E) alors montrer que 1/a est solution de (E).

Dire que a est solution de (E) veut dire que .....

et regarde ce qui se passe qnad tu remplaces x par 1/a

Pour la c) il faut mettre en facteur $x^2$ dans

$x^4$ - 4x³ + 2x² - 4x + 1

pourrais-t-on m'aider à faire la question b) e) et f) s'il vous plait ?
merci beaucoup !

Zauctore

$f(x0)=(1x0)4−4(1x0)3+2(1x0)2−4(1x0)+1\small f(x_0) = \left(\frac{1}{x_0}\right)^4 -4 \left(\frac{1}{x_0}\right)^3 +2\left(\frac{1}{x_0}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{x_0}\right) + 1$

maintenant c'est à toi de travailler sur cette expression : règles de calcul sur les puissances, mise au même dénominateur, etc.

j'ai déjà bien répondu pour la b), tu ne trouves pas ?

en avançant davantage dans les calculs, voici ce que ça donne

$f(x0)=(1x0)4−4(1x0)3+2(1x0)2−4(1x0)+1=1−4x0+2x02−4x03+x04x04\small f(x_0) = \left(\frac{1}{x_0}\right)^4 -4 \left(\frac{1}{x_0}\right)^3 +2\left(\frac{1}{x_0}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{x_0}\right) + 1 = \frac{1 - 4x_0 + 2x_0^2 - 4x_0^3 + x_0^4}{x_0^4}$

et ... qu'est-ce que tu retrouves au numérateur ?

je retrouve 0 au numérateur ?

oui !

je mets encore un lien vers un sujet semblable :

discuss entre pathi et moi

ahh merci beaucoup pour ton aide !

mais pour la question " en posant X= x + 1/x , démontrer que l'équation x² - 4x +2 -4/x + 1/x² = 0 se ramène à une équation du second degré "
je ne vois trop comment il faut que je procède

lol il me semble que ça a pourtant été fait en détail dans l'un ou l'autre lien que j'ai filé sur les deux sujets...

déjà tu as dû voir que X² = (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2, oui ?

maintenant dans ton expression
x²- 4x

2- 4/x
1/x², tu ne retrouverais pas X² par hasard ? et aussi X ?

oh mon dieu qu'est ce que je suis bête !

j'ai bien reussi je pense j'ai trouvé delta = 32 puis u1 = 1- √2 puis u2 = 1+√2
mais pour le reste je bloque

sans doute (?) veux-tu déjà parler de l'équation X² - 4X = 0, donc les solutions sont X=0 et X=4.

ensuite tu as X = x + 1/x soit ici deux cas de figure : x + 1/x = 0 ou x + 1/x = 4

le premier cas de figure donne x²+1 = 0 qui n'a pas de solution

le deuxième cas de figure donne x² - 4x + 1 = 0 soit x = 2+√3 ou x=2-√3.

moralité : je ne sais à quoi correspondent les racines que tu proposes.

ah d'accord en fait j'ai suivi l'exemple de l'un des liens que tu m'as envoyé mais je crois que le raisonnement n'était pas bon !
Merci beaucoup !

ok.

rq : lorsqu'on suit les liens, il ne faut pas oublier d'avoir un oeil critique sur les posts !

tu peux essayer de résoudre avec la méthode de ton exo l'équation je ne sais pas, moi, par exemple $x^4$ + $3x^3$ - $10x^2$ + 3x + 1 = 0.