Résolution d'une équation symétrique du quatrième degré

Bonjour tous le monde,
Voila toujours en galère avec mon dm de math je voudrais de l'aide pour cette exercice:
On considère l'équation (E): $x^4$ -x³-4x-x+1=0
1.Vérifier que 0 n'est pas solution de (E)
2.Montrer que l'équation (E) est équivalente à : x²-x-4-1/x+1/x²=0
3.Développer(x+1/x)²
4. En posant X=x+1/x, démontrer que l'équation x²-x-4-1/x+1/x²=0 se ramène a une équation du second degré.
5.Résoudre les équation du second degré, puis en déduire les solutions de (E)

Voila ce que je pense mettre:

1)Je remplace x par 0 et je vérifie ?
2)Je sais pas du tout comment faire
3)Je me sert des identité remarquable normalement
4)Euh....
5)Sa je pense que c'est avec delta

Voila voila si vous pouvez me dire si c'est sa et sinon m'aiguiller
Merci.

sujet similaire à http://www.mathforu.com/sujet-8602.html et à bien d'autres dans les archives de 1re S.

Merci zauctor, si j'ai un pb je revien; peut-tu m'aider pour le premier sujet stp

merci pour le lien j'espere que cela pourra nous aider ( nous sommes dans la meme classe). Merci beaucoup pour l'aide que tu fournie en esperant que d'autres pourront suivre ton exemple.

j'ai vu que abdelninho et moi avons le même sujet peut etre pouvons-nous s'aider mutuellement ?

Ok pas de pb mais tu serais pas dans ma classe par asard

Citation
2.Montrer que l'équation (E) : x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0 est équivalente à : x^2 - x - 4 - 1/x + 1/x^2 = 0
alors ici comme dans nombre des posts sur le sujet, il suffit que tu factorises par x^2 et que tu simplifies ; tu peux le faire, car dans la recherche des solutions, tu as vu que x=0 est impossible.

voilà ce que ça donne : x^2 (x^2 - x - 4 - 1/x + 1/x^2) = 0.

Citation
3.Développer (x + 1/x)²
sans difficulté

Citation
4. En passant X = x+1/x, démontrer que l'équation x^2 - x - 4 - 1/x + 1/x^2 = 0 se ramène a une équation du second degré.
à mon avis on retrouve X^2 là-dedans ainsi qu'un multiple de X.

tu me dis ce que tu trouves.

Merci Zauctor

je t'en prie, wizard du nord !

note qu'il te reste du boulot sur cet exo.

pk du nord ,
je me remet au boulot mais j'ai encore mon premier exercice a finir!

Ok.
devant l'equation
Citation
x^2 (x^2 - x - 4 - 1/x + 1/x^2) = 0
y a pas un x² en trop ?

bien entendu ! je ne t'ai montré que la factorisation ! à toi de continuer maintenant.

ok merci, euh 2x²*x sa fait quoi? sa fait 2x³?

oui ; quel intérêt ?

Bain nn mais je me suis trompé j'arrive pas a le factoriser tu peut m'aiguiller sans me donner la reponse?

Je pense avoir trouver puisque x=0 n'est pas solution et si on remplace le premier x² par 0 alors l'équation sera = a 0 donc le x² peut disparaitre. C'est sa?

Au 3 je trouve x²+2+1/x

Pour la 4 les "-" me gène, si je prend X²=x²+2+1/x et X=x+1/x je peut diminuer mon équation mais le problème c'est que les - m'énerve comment je pourrais faire ?

attention : x²+2+1/x
²

dans x^2

x- 4
1/x+ 1/x^2 = 0 il y a déjà
-Xet je suis sûr que tu vas reconnaître X² dans le reste, à peu de chose près...

Merci est ce que pour le 2 c'est sa

Ok pour - x et pour X² sa fait -2+1/x²+x²

et l'équation nous donne X²-X-2 ?

Citation
et pour X² sa fait -2+1/x²+x²

?

Citation
x^2 - x - 4 - 1/x + 1/x^2
Donc tu ma dit que -X=-x-1/x et donc X²=-2+1/x²+x²
c'est sa?

mais non voyons...

Tu peut m'aiguiller stp

bon je trouve tes hésitations... déconcertantes (un peu agaçantes lol)

alors voici ce que je dis pour la question 4.

tu as
$x2−x−4−1x+1x2=0x^2-x-4-\frac1x+\frac1{x^2}=0$
dans laquelle tu vois apparaître
$\frac1x$
de la façon suivante
$x2−4−x+1x2=0x^2-4-x+\frac1{x^2}=0$

Or, ayant vu que
$x2=x2+1x2+2x^2 = x^2 + \frac1{x^2} + 2$
tu en déduis que
$x^2-6-x=0$

Euhhh d'acord mais pourquoi -6?

car $x2−4+1x2=x2+1x2+2−6=x2−6x^2 - 4 + \frac1{x^2} = x^2 + \frac1{x^2} + 2 - 6 = x^2 - 6$ .

Trop Trop merci!
Je fini la question et je poste mais resultat...

A la question 2 est ce que j'ai bon?

Euh je trouve que l'équation n'a pas de solution????

X² - X - 6 = 0 n'aurait pas de solution ? tu veux rire ?
écris le calcul de delta ici, pour voir !

Je me suis tromper pour b j'ai pris X je refait mon calcul

Alors Voila delta deux solution $X_1$ =9/2

et $X_2$ =-1/2

Apres je fait quoi ?

ensuite tu écris que X = x + 1/x ; pour chaque valeur, tu mets au même dénominateur et tu résous en x, ce qui est le but de l'exercice.

Je trouve comme solution 1 et 7/2 c'est pas sa a wii

je ne comprends pas ce que tu fais ; oublie pas que je commence à fatiguer après tous ces posts : faut que tu sois clair !

Tu peut m'aiguiller stp ?
dsl mais moi aussi je fatigue je fait en meme temps yun dm de physique et delec donc...

on finira demain, ok ? là je suis comme toi : le sujet commence à me taper sur le système !

Ok

Tiens je teste un nouveau truc que je viens d'apprendre :

pour l'équation
$e),:\ x^4-x^3-4x^2-x+1=0$
on cherche une factorisation sous la forme $x^2 + px + 1)(x^2+qx+1)$
en effet, le développement d'un tel produit donne
$x^4 + (p+q)x^3 + (pq+2)x^2 + (p+q)x + 1$
que l'on identifie au membre gauche de (E) avec
$-1\qquad pq +2 = -4$
Le problème revient donc à chercher deux nombres dont la somme vaut -1 et le produit -6.

Ces nombres sont donc solutions de
$x^2 +x - 6 = 0$ .
Ce sont donc
$\frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2}$
donc par exemple p = -3 et q = 2.

Alors, les solutions de (E) sont les x tels que
$(i)x2−3x+1=0(i)\quad x^2 -3x + 1 = 0$
c'est-à-dire
$\frac{3 \pm\sqrt{5}}{2}$
ou encore
$\quad x^2 + 2x + 1 = 0$
c'est-à-dire
$\frac{-2}{2}=-1$
qui est une racine double.

D'où la factorisation du membre de gauche de (E)
$\fbox{x^4-x^3-4x^2-x+1=(x+1)^2\left(x - \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x - \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}$

Avec le recul lol, on aurait pu voir tout de suite que le nombre -1 est racine "évidente" de (E).

..............................................
MeRcI.......................................................
Grâce a toi j'ai chercher...chercher...chercher et j'ai trouver la réponse avec la première méthode et le résultat et le même !
Donc a la question 5 les solutions sont
$x_0$ =-1
$x_1$ =(3+√5)/2 et a
$x_2$ =(3-√5)/2
rq:On peut revenir a mon premier sujet que j'ai pas fini??

Désolé de réouvrir le sujet mais il y a un truc qui me semble bizarre, à la question 2), pourquoi on a le droit de supprimer le x² après qu'on l'a mis en facteur?