Exercice avec des aires : triangle rectangle et demi-cercles construits sur les côtés (les LUNULES)



  • Bonjours !

    J'ai un exercice de mathématiques a faire pour la rentrée et je ne comprend pas du tout 😕

    L'exercice comporte un triangle rectangle et des demi-cercles ayant pour diametre les trois cotées du triangle , Je doit montré que la somme des aires des demi-cercles est égale a l'aire du triangle rectangle !
    Il n'y a aucune mesure !
    Je ne voi pas vraiment comment je pourrai faire pour demontrer cela 😕

    Ce n'est pas facile a visualisé sans la figure !
    Cet exercice est dans le livre de maths modulo edition 2004 de seconde a la page 223 exercice 70 .

    Si quelqu'un pourrait m'aider ce serrait super gentil .
    Si vous avez une idée dites-moi Svp 😁 .



  • salut

    si ce sont vraiment des demi-cercles (et pas des portions de demi-cercles) alors c'est le théorème de pythagore qui te dit que la somme des aires des deux plus petits est égale à celle du plus grand, construit sur l'hypoténuse.

    maintenant, je penche plutôt pour des "lunules", auquel cas en effet la somme des deux lunules en violet ci-dessous vaut l'aire du triangle.

    image plus visible

    attente de confirmation avant d'aller plus loin.



  • Oui c'est exactement cette figure là !
    Mais comment peux tu demontrer que la somme des aires des parti violette est egal a l'air du triangle ?
    Je ne voi pas du tout moi 😕

    Merci de m'aider 😄



  • re.

    image plus visible

    déjà tu dois savoir que

    aire demi-cercle 1 + aire demi-cercle 2 = aire grand demi-cercle
    (c'est pythagore qui le prouve).

    tu dois maintenant observer que (en terme de surfaces)

    triangle +
    les deux petits demi-cercles= les deux lunules +
    le grand demi-cercle.
    (fais une figure avec des couleurs pour le mettre en évidence)

    que peux-tu en déduire ?



  • Je ne voi vraimen pas ce que tu cherche a me faire deduire . . .
    Mais j'ai compri que aire demi-cercle 1 + aire demi-cercle 2 = aire grand demi cercle . en fonction de la longueur des coté par rapport au théoreme de pythagore .
    Par contre je n'ai pas trés bien compri : triangle + les deux petits demi-cercle = les deux lunules + le grand demi-cercle .
    Jai juste penser que c'etait égal car que se soit lunules ou demi-cercles il avaient toujours le meme diametre . Ou je me trompe peut-etre ? 😕
    Comme L'hypoténuse ² = coté ² + coté ² d'aprés le théoreme de pythagore les 2 lunules = le grand demi cercle non ?

    Je te remerci encor de m'aider 😄



  • les deux lunules n'égalent pas le grand demi-cercle, non non.

    les deux parties rouges dans mon post précédent sont égales, et de part et d'autre du signe = : on peut donc les éliminer ! que reste-t-il ?

    je te montre les différentes zones avec des numéros :

    image plus visible

    tu dois voir que (6) = (2) + (4) + (5), oui ?

    tu vois aussi que (1) + (2) + (3) + (4) = (6) avec pythagore, ok ?

    donc (1) + (2) + (3) + (4) = (2) + (4) + (5)

    et des quantités s'éliminent dans cette dernière égalité !



  • Ah ouii !
    triangle + les deux petits demi-cercles = les deux lunules + le grand demi-cercle .
    Donc sa fait :
    Demi cercle 1 + demi-cercle 2 = grand demi-cercle ( avec le théoreme de pythagore )
    Donc si on elimine cela sa donne :
    Tiangle = les 2 lunules .
    Donc si je reprend avec les chiffres sa donne

    (5)+(2)+(4) = (1)+(3)+(6)
    donc
    (2)+(4)=(6)
    et
    (1)+(3)=(5)
    Cest ca ?

    Et je peut juste demontrer comme cela ?
    Encore merci 😄


 

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