fonction



  • Bonjour, est ce que quelqun pourait et m' aider pour cet exercice svp.
    On se propose de demontrer qu'il existe une seule fonction f derivable sur R verifiant la condition (c):
    -f(-x)f'(x)=1
    -f(0)=-4
    pour tout reel x,(f' designe la fonction derivee de la fonction f) et de trouver cette fonction.
    1)On suppose qu' il existe une seule fonction f satisfaisant la condition (c) et on considere alors la fonction g definie sur R par g(x)=f(-x)f(x).
    a) Demontrer que la fonction f ne s' annule pas sur R.
    Je ne comprends pas comment demontrer ceci.
    b)Calculer la fonction derivee de la fonction g.
    g'(x) = f'(-x)*f(x) (fonction composee)
    c) En deduire que la fonction g est constante et determiner sa valeur.
    aje ne vois pas non plus comment faire.

    veuillez m' aider svp
    merci



  • Bonjour,
    Suppose alors que f(x) s'annule en un x0
    calcule alors f(-(-x0)).f'(x0) qui vaut 1 par hypothèse
    Conclure

    g(x) est de la forme u.v dont la dérivée est u'.v+u.v'
    avec u= f(-x) d'où u'=-f'(-x) (on réapplique la formule précédente)
    et v=f(x) d'où v'=f'(x)

    On a alors g'(x)=-f'(-x).f(x)+f(-x).f'(x)
    Pour ta question b), il ne manquerait pas un bout dans ton énoncé?

    or f(-x).f'(x)=1 pour tout x
    donc f(-(-x)).f'(-x)=1 aussi
    on peut donc remplacer f(-x).f'(x) par f(x).f'(-x) dans g'(x)
    Donc g'(x) devient -f'(-x).f(x)+f(x).f'(-x)
    Conclure



  • Bonjour,
    il ya une suite a cet exercice, et j' aimerai bien avoir encore un peu d' aide svp.
    suite de l' exercice:
    d) On considere l' equation differentielle (E) y'=1/16y . Montrer que la fonction f est solution de cette equation et qu' elle verifie f(0)=-4.
    Je n'ai pas encore fais les differentielles en classe mais j' ai chercher sur un livre et j' ai donc essayer de resoudre ceci mais je suis pas tres sure:
    on a donc:
    x-> ke^(1x/16)
    donc je cherche les solutions de l' equation :
    f(0)=-4 <->ke^(1/16
    0)=-4 <-> k=-4
    donc k=-4, mais je ne sais pas si je reponds vraiment a la question ici.
    merci beaucoup


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