Nombres premiers et diviseurs : p premier impair = 1 ou -1 [4] ; infinité des premiers = -1 [4]



  • Voila je bute sur les nombres premiers, je ne comprends pas grand chose a vrai dire et j'ai un exercice plutôt complexe (a mon gout) a faire :

    -1- soit p un nb premier > 2. Démonter que p est congru a 1 ou -1 modulo 4.

    Ici je suppose qu'il faut faire un tableau de congruence.

    -2-a) montre que 1999 est premier et justifier qu'il est congru a -1 modulo 4
    b) résoudre dans N l'équation xy-x²=1999

    -3- Le but de -3- reste de répondre à la question : "les nombres premiers p congrus a -1 modulo 4 sont ils en nombre fini ?"

    Supposons que cela soit vrai, soit a le nb de nombre premier congrus a -1 modulo 4
    Notons A = p1 x p2 x ....x pn le produit de ces nb premiers et B = -4A - 1

    a) montrer que B est congru a -1 modulo 4

    b) Soit q un diviseur de B montrez que q est distinct de p1, p2, ...pn

    c) montrez que parmi les diviseurs de B, un au moins est congrus a -1 modulo 4

    d) répondre a la question.

    Voila, je pense comprendre tout ce qui se rapporte aux congruences mais le reste ...



  • Personne n'aurait un lien vers un exercice similaire ou quoi que ce soit qui puisse m'aider svp ?



  • salut
    Citation
    -1- soit p un nb premier > 2.
    Démonter que p est congru a 1 ou -1 modulo 4.
    les différentes possibilités de restedans la division par 4 sont 0, 1, 2 ou 3.

    puisque p est premier, le reste 0 est à exclure, puisque sinon, p serait divisible par 4.

    le reste 2 est aussi à exclure, puisque sinon, cela signifierait que p = 4k + 2, et p serait divisible par 2, ce qui est interdit (p=2 étant exclu par l'énoncé).

    il ne reste que les possibilités 1 et 3 ; or 3 = -1 [4].

    voilà pour la première question. tu essaies la question 2 ?



  • je vais essayer 😉 Merci



  • Hmm j'ai reussi le a) mais je n'arrive pas a faire le b).

    Je sais, je suis nul dans ce domaine :s



  • Citation
    -2-a) montre que 1999 est premier et justifier qu'il est congru a -1 modulo 4
    b) résoudre dans N l'équation xy-x²=1999

    a) 1999 est premier : ok
    de plus 1999 = 499×4 + 3 = -1 [4] : ok aussi.

    b) xy - x² = x(y-x) est une factorisation en nombres entiers de 1999
    quelles sont les seules possibilités, d'après a) ?****



  • y=2000 et x = 1 je pense 😉



  • [x = 1999 et y = 2000] ou [x = 1 et y = 2000].

    Citation
    -3- Le but de -3- est de répondre à la question : "les nombres premiers p congrus a -1 modulo 4 sont ils en nombre fini ?"

    Supp. que cela soit vrai ; soit a le nb de nombres premiers congrus à -1 modulo 4
    Notons A = p1 x p2 x ....x pn le produit de ces nb premiers et B = -4A - 1

    a) montrer que B est congru a -1 modulo 4

    b) Soit q un diviseur de B montrez que q est distinct de p1, p2, ...pn

    c) montrez que parmi les diviseurs de B, un au moins est congrus a -1 modulo 4

    On suppose donc que les nb premiers du type 4k+3 (i.e. ceux de la forme -1 [4]) sont en nombre fini et on les multiplie tous pour former A.

    je répète que "congrus à -1 modulo 4" signifie "de la forme 4k+3".

    a) est trivial 4=0 [4].

    b) c'est le même argument que dans la preuve de l'infinité des nombres premiers.
    si q est l'un des pk, alors modulo [q] on a B= -1 ≠ 0 ce qui est impossible (autrement si q divise B et si q divise 4A alors q divise 1).

    c) le produit de deux facteurs du type 4k+1 est encore de la forme 4k+1 : prends (4k+1)(4k'+1) = 4(...) + 1.
    donc si tous les div de B étaient de la forme 4k+1, c'est-à-dire si aucun n'était de la forme 4k+3, alors B serait congru à 1 [4], contredisant a).
    donc il y a au moins un diviseur de q qui n'est pas de la forme 4k+1 ; il est donc de la forme 4k+3.


 

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