Dm de maths (terminale S) : Loi de Snell-Descartes

[harry67000]

Bonjour j'ai un petit soucis avec un Dm de maths alors voila l'énoncé:

Vers 1650,Pierre de Fermat conjectura que parmi toutes les trajectoires possibles, la lumière suit celle qui nécessite le temps le plus court. C'est ce principe dit du moindre temps que nous appliquons ce-dessous pour démontrer la Loi de Snell-Descartes :

$n_1\sin (i_1)=n_2\sin (i_2)$.

On trace un schéma du plan d'incidence dans lequel on a choisi un repère orthonormal pour lequel les coordonnées des points remarquables sont simples : (0;a) pour A, (x;0) pour I et (d;b) pour B.

Les nombres réels a, x et d sont positifs et b est négatif ; de plus x appartient [0;d].

1. Si la vitesse de la lumières est v_1 , dans le demi-espace E_1 et v_2 dans le demi-espace E_2,démontrer que le temps mis pour aller de A à B est :

$t(x)= \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}{v_2} \$

2. Justifier la dérivabilité de la fonction t sur [0;d] , puis calculer l'expression de la dérivée t'(x).

3. Exprimer sin(i1) et sin(i2) en fonction de a,b,d, et x et en déduire que

$t^{\prime }(x)=\frac{\sin (i_1)}{v_1}-\frac{\sin (i_2)}{v_2}$

4. Calculer t'(0) et t'(d).
En déduire que la fonction t est décroissante, puis croissante et qu'il existe un minimum lorsque

$\frac{\sin (i_1)}{v_1}=\frac{\sin (i_2)}{v_2}$

Voila j'ai commencé à travaillé dessus ,je pense avoir trouver la 1ere question en utlisant le théorème de Pythagore et la 2eme avec le taux de variation mais pour la suite je suis vraiment bloqué...

Merci d'avance pour votre aide