exponentielles TS

coucou !
j'ai un petit problème en maths !
quelqu'un pourrait-il m'aider svp?!

j'ai la méthode, je sais et j'ai compris ce qu'il fallait faire, mais je n'arrive pas à raisonner avec cette fonction !
Bon courage et merci à ceux que voudront bien m'aider même pour une seule question !

Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par :

$\frac{x^2 + x + 1}{x^2} \times \text{e}^{-1/x}$ pour x>0 et f(0)=0 .

On note C sa courbe représentative.

Démontrer que la droite d d'équation y=1 est une asymptote de C.

2)a) Démontrer que f est continue en 0.
b) Déterminer lim x→0 [ (f(x)-f(0)) / x ]
Que peut-on en déduire pour f ?

Démontrer que f est dérivable sur ]0;+∞[.
Calculer f '(x) pour tout réel x strictement positif,
puis étudier les variations de f sur ]0;+∞[ .
Dresser le tableau de variation de f .

5)a) Démontrer que l'équation f(x)=1 admet une unique solution m dans R et que m appartient à l'intervalle [0;1]
b) Déterminer un encadrement de m d'amplitude 0.1
c) Etudier la position relative de C et d .

salut

commence par dire ce que tu as fait ou ce que tu ne comprends pas pour cette question :
Citation

Démontrer que la droite d d'équation y=1 est une asymptote de C.

salut
pour le 1) je sais ou du moins je pense qu'il faut calculer la limite de la fonction en +∞
on doit alors trouver que la limite vaut 1 mais je n'arrive pas à trouver cela ! en fait je n'arrive pas à simplifier la fonction à cause de l'exponentielle ...

Tu dois savoir que

$lim⁡x→+∞x2+x+1x2=1\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+x+1}{x^2} = 1$ .

De plus

$lim⁡x→+∞1x=0\lim_{x \to +\infty} \frac1x = 0$

$lim⁡y→0ey=1\lim_{y \to 0} \text{e}^y = 1$ .

Ces deux dernières montrent que

$lim⁡x→+∞e1/x=1\lim_{x \to +\infty}\text{e}^{1/x} = 1$ .

D'où la limite demandée.

merci beaucoup ! =D tu m'as bien aidé !
j'ai tout de même reussi a finir cet exercice !
a la prochaine !

si tu étais venue participer un peu plus sur le forum, on t'aurait davantage aidée. tu as dit être venue chercher de l'aide, pas une solution toute faite.

Bonsoir j'ai un problème avec cet exercice, je trouve que f est dérivable en 0 ... et que $f^{'} (0) = 0$
et j'ai un soucis avec la question 3 donc...

Merci à vous

b) détermination du nombre dérivé en 0+ :

$x2+x+1x3×e−1/x=(1x+1x2+1x3)×e−1/x=(y+y2+y3)×e−y\frac{x^2 + x + 1}{x^3} \times \text{e}^{-1/x} = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right) \times \text{e}^{-1/x} = (y + y^2 + y^3) \times \text{e}^{-y}$
en posant y = 1/x. alors y tend vers +∞ lorsque x → 0+, d'où la limite 0, puisque pour tout n>1, on a
$y^n \times \text{e}^{-y} = \frac{y^n}{\text{e}^{y}} \$
et on sait que
$eyyn=+∞.\lim_{y\to+\infty} \ \frac{\text{e}^{y}}{y^n} = + \infty.$

la dérivabilité sur R+* ne pose pas de problème.

il reste à calculer la dérivée, c'est celle d'un produit, d'où

$\left(\frac{x^2+x+1}{x^2}\right)' \times \text{e}^{-1/x}; + ; \frac{x^2+x+1}{x^2}\times \left(\text{e}^{-1/x}\right)'$

Je vous remercie, j'avais en fait utiliser une méthode différente pour la 2)b) qui ne m'a pas mené à la bonne reponse... je ne sais d'ailleurs pas pourquoi.

J'avais écrit que $f (x) - f (0) / x = f (x) - f (0) / x - 0 = f^{'} (0)$
ensuite j'avais calculé la dérivée et trouvé que f'(0)=0...
Maintenant que j'y pense c'est peut être faux car on peut lire dans la question 3 qu'il faut démontrer que f est dérivable sur ]0;+l'inf[ donc 0 exclu...
enfin quoiqu'il en soit j'aurais dû faire au plus simple...

Merci

le nombre dérivé en 0 est bien 0, tel qu'on l'obtient avec la limite du taux de variation.

si de plus la limite de f ' en 0+ est égale à 0, cela signifie que la dérivée est continue à droite de 0.

D'accord merci.

Je voulais aussi savoir comme procéder pour la 5)c) car en faisant $f (x) - 1$ j'obtiens un quotient dont il est difficile de calculer le signe... svp

le signe de f(x) - 1 étant assez difficile à étudier comme cela, il faut que tu utilises les résultats des questions précédentes : sens de variation de f et étude de l'équation f(x)=1 (lecture du tableau).

Merci beaucoup pour votre aide