eponentielle : encadrement de e entre (1+ 1/n)^n et (1+ 1/n)^(n+1)



  • Bonjour, voila un exercice que j'aimerai à faire...Mais j'arrive pas:

    question:

    a) h est la fonction defenie sur R par h(x) = e^x-(1+x). Etudier ses variations
    b) en deduire que pour tout réel x, 1+x < e^x
    c) d'apres "1.b" demontrer que pour tout réel x < 1 e^x < 1/ (1-x)

    a) deduire d'apres "1.b" que (1+ 1/n)^n < e (ou n est un entier naturel non nul)
    b) deduire d'apres "1.c" que e < (1+1/n)^(n+1)

    alors le 1.a je l'ai fais on a donc h'(x)=e^x-1, h est croissant sur [0; + infinie[
    h est decroissante sur ]- infinie;0]

    ensuite pour 1.b. je dis juste d'apres h'(x)=e^x-1 , h(x) > 0 (on peut utiliser et montrer par les limiter mais je crois que c'est pas la peine) ainsi e^x > 1+x

    apres je sais pas comment faire, je vais essayer encore de reflechire, mais si vous voiez des lacunes dans ma redaction je vous en prie de me le dire:) je corrigerai imediatement:)

    merci en avance 🙂



  • Bonjour,

    Pour dire que pour tout x de mathbbRmathbb{R} , h(x) > 0 , il faut bien se servir du tableau complet de variations de h (avec limites) .

    Je ne comprends pas la question 1 c ) .....

    Et dans ta rédaction , je te donnerai le conseil de faire un peu moins de fautes d'orthographe et de conjugaison !



  • enfaite d'apres le tableau de variation les lim h(x)=+ infinie en +infinie et - infinie



  • Dans la question 1b) ton énoncé est faux car l'inégalité n'est pas stricte (sinon la propriété n'est pas vraie en x=0).
    Tes deux limites extrêmes sont +∞ ce qui est déjà bon signe pour prouver que la fonction ne descend jamais en dessous de 0 mais ce n'est pas suffisant, il faut encore savoir ce qui se passe entre ±∞.
    A première vu je dirais que ta fonction est décroissante jusqu'à 0 puis croissante à partir de 0, en appliquant un p'tit théorème tu peux montrer que h admet un minimum calculable.
    Si tu connais le minimum de ta fonction tu as ton inégalité.

    Ta question c n'a aucun sens.


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