Démonstration d'une égalité par récurrence

Bonjour je dois démontrer par récurrence :

$f(n)x=xcos(x+nπ2)+ncos(x+(n−1)π2)f^{(n)}x=xcos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)+ncos\left(x+(n-1)\frac{\pi}{2}\right)$

Merci d'avance pour votre aide !

Bonjour,

Si tu souhaites qu'on t'aide à trouver la dérivée nième de f , il faudrait mieux qu'on en sache un peu plus sur cette fonction ! Tu ne crois pas ?

f est définie sur R par f(x)=xcosx

j'ai calculer f'(x)=cosx-(sinx)x
f''(x)=-(sinx+(cosx)x+sinx)
$f^{(3)}$ =-(3cosx-(sinx)x)

Donc tu vérifies que c'est vrai ou non au premier rang ?

Pour la récurrence :

Tu supposes que $f^{(n)}$ (x) = ....

Et tu calcules $f^{(n+1)}$ (x) en dérivant $f^{(n)}$

Pour démontrer par récurrence tu n'avais besoin que de calculer f'(x) (après avoir montrer que f est dérivable bien sûr) pour montrer que la propriété est initialisée pas besoin des suivantes.
Ensuite tu montres que f'(x) est bien de la forme recherché avec n=1.

Puis tu passe à l'hérédité. Tu supposes que f est n fois dérivables avec pour dérivée n-ième $f^{(n)}(x)={x}{cos(x+\frac{n{\pi}}{2})}+{n}{cos(x+(n-1){\frac{\pi}{2}}$ et tu n'as plus qu'à montrer que f est (n+1) fois dérivable (en montrant que la dérivée n-ième est dérivable) puis à dériver la dérivée n-ième pour mettre en évidence que dans ce cas $f^{(n+1)}(x)={x}{cos(x+\frac{(n+1){\pi}}{2})}+{(n+1)}{cos(x+(n){\frac{\pi}{2}}$.
Ta propriété étant initialisée et héréditaire, tu n'as plus qu'à conclure.

Ah tiens, ce coup ci, c'est moi qui ait été plus lent que Zorro. En effet c'est bien d'écrire en latex qui change tout.

mais d'abord je doit porouver que P(1) est vrai je remplace n par 1 et je trouve:

$f(1)=xcos(x+π2)+cos(x+π2)f^{(1)}=xcos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+cos(x+\frac{\pi}{2})$

$f^{(1)}=xcosx+cosx$

mais je trouve pas la meme chose que F'(x) c'est pas normal...enfin j'pense pas !

Tu as du sinus au lieu d'un cosinus et c'est ça qui te chagrine ? Il y a tellement de formules de trigonométrie que tu devrais bien en trouver une qui fasse ton bonheur ;).

Salut.

Il n'est pas là le problème. Tu as mal remplacé : n-1=0. Démarre plutôt de :

$f(1)=xcos(x+π2)+cos(x)f^{(1)}=xcos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+cos(x)$

@+

ahh uiii !! mais ça change rien je trouve tjrs $f^{(1)}=xcox+cosx$

c'est bon j'ai trouver cos(x+∏/2)=-sinx

mais il y a un truc que je ne comprends pas,

j'ai supposer que P(n): $f(n)x=xcos(x+nπ2)+ncos(x+(n−1)π2)f^{(n)}x=xcos(x+\frac{n\pi}{2})+ncos(x+(n-1)\frac{\pi}{2})$ était vraie

et maintenant il faut que je démontre que P(n+1): $f(n+1)x=xcos(x+(n+1)π2)+(n+1)cos(x+π2n)f^{(n+1)}x=xcos(x+\frac{(n+1)\pi}{2})+(n+1)cos(x+\frac{\pi}{2}n)$ est vraie

Mais je sais pas comment faire pck ce que tu as dit S321 j'ai pas tout compris car je dérive la racine n-ième je me retrouve pas avec du n+1

Il faut que tu dérives l'expression $f(n)x=xcos(x+nπ2)+ncos(x+(n−1)π2)f^{(n)}x=xcos(x+\frac{n\pi}{2})+ncos(x+(n-1)\frac{\pi}{2})$ . Tu es sûr de l'avoir sans erreur ?
C'est tout de même une dérivation assez moche et après il faut utiliser les formules de trigonométries pour lui donner la forme voulue. Rien que d'y penser, j'en baille.

Quoi qu'en fait, je retire ce que j'ai dis. Ça se fait facilement (de tête, niark !), surtout quand on sait que dériver cos(x) c'est rajouter π/2 dedans