Etudier la position relative des courbes de deux fonctions

bonsoir,
voila j'aurai besoin d'aide pour une question de mon DM

soit f(x) = 1+x+ (x²/2) - (1+x)ln(1+x) df= ]-1, +inf[

Etudier la position relative des courbes d'équations y=f(x) et y=x²/2
donc on fait,

f(x) - x²/2 = 1+x - (1+x)ln (1+x)

et la pour étudier le signe, ça coince...

merci

salut

en factorisant, tu as 1+x - (1+x)ln (1+x) = (1+x)[1 - ln(1+x)]

or 1+x est positif ; maintenant, saurais-tu déterminer le signe de 1 - ln(1+x) pour tout x > -1 ?

Bonsoir.

Une autre méthode, plus générale si encadrer ta fonction n'est pas facile. Tu peux tenter c'est de poser par exemple la fonction h telle que h(x)=f(x)-x²/2 pour avoir plus facilement ta différence sous le coude.
Comme tu as h(x)=1+x-(1+x)ln(1+x) en justifiant correctement la dérivabilité de h tu peux la dériver assez simplement. Les logarithmes ont tendances à bien s'arranger par dérivation et de tête je peux voir que celui là ne déroge pas à la règle.
Donc de h' tu peux en étudier le signe assez facilement et donc en déduire la stricte monotonie de h par intervalles.
Tu n'as plus qu'à regarder où elle s'annule et le tour est joué. En effet, si tu sais qu'elle s'annule en un certain x alors qu'elle est strictement croissante et bien tu peux en déduire qu'elle est négative avant ce x et positive après.

C'est un peu plus long (à peine, ça se rédige très vite avec l'habitude) mais ça a le mérite de pas demander de réflexion.

[no comment]

je finis :

pour trouver le signe de 1 - ln(1+x),
je regarde l'inéquation

1 - ln(1+x) ≥ 0
qui revient à
1 ≥ ln(1+x)
soit encore
ln(e) ≥ ln(1+x)
et par croissance de ln
e ≥ 1+x
donc finalement

x ≤ e-1≈ 1,78.

ps : il y a équivalence à chaque ligne.

Merci beaucoup,Vu comme ça, ça parait beaucoup plus simple;
donc
(1+x)[1-ln(1+x)] est positive sur ]-1; (e-1)]
et negative sur ](e-1), + inf]

on en deduit que f(x) est au dessus de x²/2 sur ]-1,(e-1)]
et en dessous de x²/2 sur ](e-1), +inf[

J'ai une derniere question je dois trouver une asymptote de
f(x).
hors lim en -1 de f(x) = 1/2
et lim en +inf de f(x) = +inf
donc il n'y a pas d'asymptote vertical et horizontal, la seul solution serait une asymptote oblique mais je ne sais pas comment la trouver.