Congruences - exercices

Bonjour à tous !
Alors voilà, j'ai 2 problème à résoudre mais je n'y arrive pas. En fait, c'est la mise en équation qui me pose problème (une fois que je l'aurais, je pense que je saurais la résoudre).

Exercice 1 :

Les côtés d'un triangle rectangle ont pour mesures des entiers. L'hypothénuse a pour longueur un multiple de 7. Démontrer que les longueurs des 2 autres côtés sont également des multiples de 7.

--> alors là, j'arrive à montrer que si les 2 côtés sont multiples de 7, l'hypothénuse l'est aussi :
a,b sont les 2 côtés, c l'hypothénuse

si a ≡ 0 [7] et b ≡ 0 [7]
alors a^2 ≡ 0 [7] et b^2 ≡ 0 [7]
donc a^b + b^2 ≡ 0 [7]

Sauf que je suis sensée le prouver dans l'autre sens, et là...problème !

Exercice 2 :

Madame Wigg explique à sa voisine qu'elle a un carré de choux plus grand que celui de l'année dernière, les choux étant alignés en en longueur, en largeur et en diagonale, et qu'il poussera donc 211 choux de plus. Combien de choux pousseront cette année ?

--> Pfoui...
Bon alors là j'ai appelé x le nombre de choux de l'année précédente et y celui de cette année. On a donc : x + 211 = y
soit y - x = 211 (avec comme solution particulière x°=1 et y°=212, j'obtiens en résolvant l'équation diophantienne y=212+t et x =1+t mais ça ne m'aide pas vraiment)

Une autre condition est que x = a^2 et y = b^2 où a et b entiers naturels (c'est à dire que x et y doivent être des carrés d'entiers pour pouvoir former un champ carré).

Voilà mais après je dois avouer que je patauge... donc si quelqu'un pouvoit m'aider, ce serait gentil
Merci d'avance !

Et bien ! Je vois que mes exercices n'ont pas beaucoup de succès !!
C'est que vous n'avez pas d'idées ou simplement que personne n'a lu ce post ?
Si jamais vous passez par là, n'hésitez pas à poster un message, même si vous n'avez pas d'indication pour moi : ça me ferait quand même plaisir de ne pas me savoir seule sur ce sujet !

lol tiens, pour te montrer que tu n'es pas seule sur ce sujet (quoique) hé bien voici ce que je te propose pour l'exercice 1 :

Les côtés d'un triangle rectangle ont pour mesures des entiers. L'hypothénuse a pour longueur un multiple de 7. Démontrer que les longueurs des 2 autres côtés sont également des multiples de 7.

tu as vu que a² + b² = c², or, puisque c² = 0 [7], tu es réduite à te demander comment faire 0 modulo 7 en ajoutant deux carrés, n'est-ce pas... ainsi, tu vois que les possibilités sont 0+0, 1+6, 2+5, 3+4 (et leurs symétriques).

maintenant, quels sont les restes possibles, modulo 7, pour un carré comme a² ?
imagine par exemple que a=1 [7] ; alors a² = (7k+1)² = 7k'+1 = 1 [7].
je te laisse dresser le tableau des restes possibles. et ensuite, tu n'auras qu'à envisager la somme de tels restes, pour te rendre compte que la seule possibilité acceptables est en fait simplement 0+0 [7].

voilà ma contribution à la rupture de ta solitude sur le sujet !

Merci, c'est gentil !
En effet, j'avais plutôt cherché à obtenir une formule générale que d'essayer les différents cas possibles... Eh bien merci pour cette aide précieuse, je n'ai plus qu'à affiner la rédaction !