Démontrer une égalité avec des polynômes

[iris13]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide svp pour un exercice sur les polynômes.

On a $P_n$(x) un polynôme:
$P$_n$(x)=(x$^n$-1)(x^{n+1}$-1)
et n un entier naturel

Démontrer qu'il y a un polynôme $Q_n$(x) de telle sorte que :
$P_n$(x)=(x-1)².(x+1).$Q_n$(x)

[Zauctore]

salut

il suffit de vérifier que 1 est racine d'ordre au moins 2 et que (-1) est racine (au moins simple).

pour 1, c'est clair.

pour (-1), il faut que tu remarques que, puisque n et n+1 sont deux entiers consécutifs, l'un est pair donc c'est en fait par exemple

$(x^{2m}-1)(x^{2m+1}-1)$
et il est clair que (x
+1) divise le premier facteur.

[iris13]

Salut,

je ne sais pas comment diviser le premier facteur $(x^{2m}$-1) par (x-1)
je dois faire la division euclidienne ?

et merci

[Zauctore]

excuse, y'avait une coquille

alors tu as $x^{2m}-1=(x^m-1)(x^m+1)$

et tu vois bien que -1 est solution.

[iris13]

Donc je dois seulement démontrer que 1 et -1 sont racines de p ?