volume de solide



  • Bonjour, j'ai un devoir de math maison et cet exercice me pose problème

    Soit f la fonction définie sur l'intervalle [-pi/2;pi/2] par f(x) = cos²x

    1. En utilisant l'identité 2cos²x=1+cos2x, montrer que pour tout réel x, cos^4x=1/8(3+4cos2x+cos4x)

    2. Déterminer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe C autour de l'axe des abscisses.

    je suis bloquée à la question 1 et je pense qu'il faut résoudre la question 1 pour réussir la 2.
    merci d'avance.
    Laurène.



  • slt

    tu as pour commencer

    cos4x=(cos2x)2=14×(1+cos(2x))2\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \frac14 \times\left(1 + \cos (2x)\right)^2

    maintenant, développe le carré et ré-applique l'identité proposée à cos2(2x)\small \cos^2(2x)



  • salut

    j'ai appliqué ce que tu m'as dit mais à la fin je trouve
    cos^4x=1/8(3+4cos2x+cos2x)
    j'ai du me tromper mais je ne trouve pas où.



  • tu as

    14×(1+cos(2x))2=14×(1+2cos(2x)+cos2(2x))\frac14\times\left(1 + \cos(2x)\right)^2 = \frac14 \times(1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x))

    or en ré-appliquant l'identité de ton énoncé, tu as

    cos2(2x)=12×(1+cos(4x))\cos^2(2x) = \frac12\times \left(1 + \cos(4x)\right)

    à toi de finir.



  • Bonjour.
    En effet tu as bien besoin de la question 1 pour pouvoir répondre à la question 2 car tu aura besoin d'intégrer ta fonction. Et cos4cos^4x ne s'intègre pas sans se linéariser (le but de la question 1).

    Par contre c'est vrai qu'elle n'est pas simple comme question (la 2) et il vaut mieux avoir une bonne représentation visuelle de ce qu'est l'intégration pour une courbe.
    L'intégrale d'une courbe représente l'air sous cette courbe par la somme des segments verticaux. Ainsi "f(x)dx" représente un rectangle de hauteur f(x) et de largeur infinitésimale "dx".
    Là on ne te demande pas un calcul d'aire mais de volume. Comme il s'agit d'une révolution autour de l'axe des abscisses tu peux découper ton espèce de boudin informe en un empilement de disques de rayon "f(x)" et de hauteur "dx". Après il n'y a plus qu'à les additionner continument.


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