Somme des nombres entiers consécutifs, des carrés consécutifs et cubes consécutifs



  • Bonjour ,

    J'ai un exercice à faire pour déterminer la somme de nombres consécutifs , la somme des carrés de nombres consécutifs et des cubes de nombres consécutifs .

    1. On pose f(x) = ax² + bx + c pour tout réel de x

    a) Déterminer les réels a ; b et c tels que : f(0) = 0 et f(x+1) - f(x) = x pour tout réel x ( R )

    de f(0) = 0 = a × 0² + b × 0 + c donc j'en déduis que c=0
    je peux écrire f(x) = ax² + bx

    f(x+1) - f(x) = x soit a(x+1)² + b(x+1) - ( ax²+ bx ) = x
    donc ax² + 2ax + a + bx + b - ax² - bx = x
    soit 2ax + b + a = x

    et la je bloque je peux éventuellement factoriser soit a(2x+ 1 ) + b = x mais je reste bloqué !
    Pourriez vous m'aider ?



  • Bonsoir
    Tu as deux équations pour trois inconnues. Il est pas soluble ton système. Du moins pas avec les infos que tu nous donnes (tu nous caches quelque chose ?).
    De plus je ne vois pas tellement le rapport entre ton exo et :
    La somme de nombres consécutifs : k=k0nk\sum_{k=k_0}^{n} {k}

    La somme de carrés consécutifs : k=k0nk2\sum_{k=k_0}^{n} {k^2}

    La somme de cubes consécutifs : k=k0nk3\sum_{k=k_0}^{n} {k^3}



  • salut.

    on a déjà traité ce genre d'exo que tu peux retrouver dans les archives de première S

    *1) On pose f(x) = ax² + bx + c pour tout réel de x

    a) Déterminer les réels a, b et c tels que : f(0) = 0 et f(x+1)-f(x) = x pour tout réel x*

    c=0 : tu as raison.

    2ax + b + a = x : tu as raison.

    maintenant pour former un système en (a, b), deux voies s'ouvrent devant toi :

    1° une propriété hors programme d'identification des coefficients, lorsque deux polynômes sont égaux, qui te permet de dire que

    a+b = 0 et 2a = 1
    2° choisir deux valeurs particulières de x, comme x=0 puis x=1 par exemple pour écrire b+a = 0 avec x=0, et 2a+b+a=1 avec x=1, d'où le même système que précédemment.



  • pour l'info de s321, voici le rapport qu'il ne voit pas tellement :

    k=0n,k = k=0n,[f(k+1)f(k)]\sum_{k=0}^{n}, k\ =\ \sum_{k=0}^{n}, [f(k+1)-f(k)]
    où f est définie par les contraintes de la question 1.



  • Merci pour votre aide j'ai réussi a avancer je pense !!

    alors donc j'ai utilisé la deuxième méthode donc je trouve b = - 1/2 et a = 1/2 soit
    f(x) = 1/2x² - 1/2 x il me demande de factoriser f(x) donc f(x)=1/2x(x-1)

    Ensuite il me demande en utilisant la relation (R) écrire n égalités en remplaçant x par successivement par 1 , 2 , 3 ,..... n puis faire la somme de ces n égalités membres à membre . Puis exprimer f(n+1) en fonction de n .

    mon problème est que je ne comprend la question pourriez vous maider , je suis passé au auxtres mais je bloque sur celle la ! Merci d'avance



  • re.

    f(2)f(1)=1 f(3)f(2)=2 f(4)f(3)=3 \dots\dots\dots f(n)f(n1)=n1 f(n+1)f(n)=nf(2) - f(1) = 1 \ f(3)-f(2) =2 \ f(4) - f(3) = 3 \ \dots \dots \dots \ f(n)-f(n-1) = n-1 \ f(n+1) -f(n) = n

    en les ajoutant membre à membre, il y a plein de choses qui se simplifient deux-à-deux à gauche, alors qu'à droite tu trouves 1+2+3+...+n, i.e. la somme des n premiers entiers.



  • super j'ai compris donc j'exprime f(n+1) en fonction de n soit f(n+1)= f(n) + n = (n²+n)/2 ensuite il me demande d'en déduire la somme de 1+2+3+4 ....+n ça me parait simple mais je suis pas sur je dirais que c'est ( n²+n) / 2 est-ce bon ? et comment le justifier !
    ensuite il me demande de calculer 1+2+3+4 ....+1000
    donc (1000² + 1000 )/2 = 500500

    B) g est un polynôme de degré 3 tel que : g(0) = 0 et g(x+1) - g(x) = x² pour tout réel x

    donc j'en déduis comme avant , que g(x)= ax³ +bx²+cx+ d avec d=0 et c = -1/6

    et b= 0 et a= 1/6 d'où g(x) = x³/6 - x/6 puis il faut le factoriser
    donc g(x) = x( x²/6 - 1/6)

    ensuite il faut s'inspirer de la partie A pour eprimer la somme de 1²+2²+3² +......+n² en fonction de n donc je trouve

    g(2) - g(1) = 1²
    g(3) - g(4) = 2²
    .....................
    g(n+1) - g(n) = n²

    je dois tout simplement écrire √[ g(n+1) - g(n) ] = n ????

    je sais que c'est tout bete mais la chose ne me parait pas évidente !!

    aprés il me demande de calculer 1² + 2² + 3² +.....+n² !

    Merci d'avance !



  • Bonjour, je suis dans la classe de Psyko et je n'arrive pas à trouver les coefficients pour g(x+1) - g(x) = x²

    Je trouve 3ax² + 3ax + 2bx + a + b + c = x²
    Après je fais pour x = 0 et je trouve que a + b + c = 0 et donc 3ax² + 3ax + 2bx
    Mais comment faire pour trouver a, b et c ??
    Aidez-moi s'il vous plait
    Merci d'avance



  • salut

    tu peux aussi voir que nécessairement 3a = 1 et 3a + 2b = 0.

    là, tu peux trouver a, b et c.



  • Bonjour,
    Je trouve a = 1/3 b = 0 et c = -1/3 !!
    Est-ce bon ?
    Merci beaucoup


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