determiner le plus petit... suite, inverses et racines carrées


  • W

    Bonjour à tous !

    Voilà j'ai un Dm à faire et je bloque sur la dernière question d'un exo :
    Je viens de démontrer que V(n+1) + V(n) a pour inverse V(n+1) - V(n)

    Voilà la question :

    Déterminer le plus petit entier naturel n tel que :

    1/1+V(2) + 1/V(2) + V(3) + 1/V(3) + V(4) +....+ 1/V(n) + V(n + 1) >= (inférieur ou égal) 100

    Merci d'avance

    NdZ : le symbole V désigne la racine carrée pour wario256


  • W

    SVP c'est important...
    Personne ??


  • S

    Bonsoir.
    Sont-ce les seuls informations que tu as sur V ? C'est une fonction ? Une suite ? L'expression d'un volume ? On n'a aucune information sur son premier terme ?
    C'est quoi ce "n" ? Un entier, naturel ou relatif, un réel, la 14ème lettre de l'alphabet ?
    Sinon, dans ton inéquation, tu veux ≥ ou ≤ ? Tu en a mis un et écrit l'autre entre parenthèses.
    En général un devoir a une cohérence et les questions ne sont pas posé au hasard. J'aimerai bien savoir de quoi il parle ton devoir.


  • Zauctore

    je pense que l'énoncé est trouver le premier entier n tel que

    11+V2+1V2+V3+1V3+V4+⋯+1Vn+Vn+1≤100\frac{1}{1+V_2} + \frac1{V_2 + V_3} + \frac1{V_3 + V_4} + \dots + \frac1{V_n + V_{n + 1}} \leq 1001+V21+V2+V31+V3+V41++Vn+Vn+11100

    sachant que

    1Vn+1+Vn=Vn+1−Vn\frac1{V_{n+1} + V_n} = V_{n+1} - V_nVn+1+Vn1=Vn+1Vn

    voir plus bas


  • W

    Merci,

    Donc si j'ai bien suivi,
    √n+1)-√n ≥ 100

    je mets tout au carré :

    n+1-n ≥ 10000
    n-n ≥ 9999
    0 ≥ 9999

    Mais ce n'est pas cohérent, alors où est le problème svp ?


  • Zauctore

    ok : je pensais que c'était une suite V_n alors que ce sont des racines carrées... si tu avais soigné ta syntaxe, on aurait évité de perdre du temps...


  • W

    Désolé je suis nouveau et je n'avais pas vu la barre de caractère...


  • Zauctore

    alors effectivement je reprends

    tu as bien vu que

    1n+1+n=n+1−nn+1−n=n+1−n\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n+1-n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}n+1+n1=n+1nn+1n=n+1n

    alors la somme demandée se réduit comme ceci

    12+1+13+2+14+3+⋯+1n+1+n =2−1+3−2+4−3+⋯+n+1−n =n+1−1\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt3 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \ = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \dots + \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \ = \sqrt{n+1} - 12+11+3+21+4+31++n+1+n1 =21+32+43++n+1n =n+11

    donc trouver le premier n tel que la somme en question dépasse 100 revient à résoudre

    n+1−1≥100.\sqrt{n+1} - 1 \geq 100.n+11100.


  • W

    Merci beaucoup Zauctore de m'avoir aider et encore désolé pour ma syntaxe...


  • W

    Cela donne donc
    √(n+1)² - 1² ≥ 100²
    n +1 +1 ≥ 10000
    n ≥ 10000

    C'est ça ?


  • Zauctore

    mais non, car tu ne peux prendre le carré de la somme √(n+1) - 1 comme ça ! il faut plutôt procéder ainsi

    n+1−1≥100 ⟺ n+1≥101\sqrt{n+1}-1 \geq 100 \ \Longleftrightarrow \ \sqrt{n+1} \geq 101n+11100  n+1101

    et là, tu peux élever au carré...


  • W

    Euh oui.

    Merci encore 🙂


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