Etude d'une fonction quotient



  • bonjour!!!
    j'ai un petit probléme consernant une question et du coup je n'arrive pas a avancé...est ce que vous pouvez m'aider svp??

    sujet:

    soit f la fonction définie, pour tous x∈ℜ \ 1 par f(x) = x³/ (x-1)² et Cf sa courbe représentative.

    1/déterminer les rééls a b c tels que f(x) = ax-b + (cx+d)/(x-1)²

    réponse : f(x) = x+2 + (3x-2)/(x-1)² de plus D = x+2 est la tangente a Cf.

    2/déterminer l'absisse du point J de la courbe Cf en lequel la tangente est paralléle à D, puis une équation de cette tangente T.

    3/a l'aide du graphique, étudier suivant les valeurs du paramétre p, le nimbre de solution de l'équation f(x) = x+p
    démontrer ce résultat par le calcul.

    4/soient D l'intervalle ]-1/4 ; +∞] et delta la droite d'équation y= x+p avec
    p ∈ D

    Soient M et N les points d'intersection de delta avec Cf et P le milieu de [MN].

    a)donner les coordonnées de M et N en fonction de p

    b) montrer que l'abscisse xp de P est 1+ 3/(2p-4) et son ordonnée yp est xp+p

    c) justifier que P est la courbe d'équation y = x+2 + 3/ (2(x-1))

    d) quel est l'ensemble décrit par P lorsque p décrit D?

    merci d'avance je suis vraiment bloquée... 😕



  • Début de réponse...
    1/ Attention, D est une asymptote de Cf pas une tangente
    2/ Une tangente parallèle à D a le même coef directeur que D ici c'est 1.
    or le coef dir de la tangente en a, c'est f'(a). Donc on cherche a tel que f'(a)=1



  • oui mais il n'y a quelque chose que je ne comprend pas...
    en faite comme dérivée je trouve :
    f'(x) = (x^4 - 4x³ +3x²) / (x-1)^4

    quand je remplace x par a je trouve ,

    f'(a) = (a^4 - 4a³ +3a²) / (a-1)^4 = 1

    donc ((a^4 - 4a³ +3a²) / (a-1)^4) -1 = 0
    [(a^4 - 4a³ +3a²) - (a-1)^4 ] / (a-1)^4
    [a^4 - 4a³ +3a² - a^4 + 4a³ - 2a² -1] / (a-1)^4
    (a²-1) / (a-1)^4
    (a-1)(a+1) / (a-1)^4

    soit a=-1 soit a=1 or a ≠ 1 car le dénominateur n'est jamais négatif donc a = -1

    par conséquent on a l'équation suivante:

    y= f'(a)(x-a) + f(a) c'est a dire x - f'(a)a + f(a)

    avec f'(a)a +f(a) = 3/4

    l'équation de la tangente est donc : x+ 3/4
    comment savoir quel est l'absisse de J?

    si vous avez une idée...merci d'avance 😄



  • Je pense avoir trouvé une erreur dans le développement de (x-1)^4
    donc ((a^4 - 4a³ +3a²) / (a-1)^4) -1 = 0
    [(a^4 - 4a³ +3a²) - (a-1)^4 ] / (a-1)^4
    [a^4 - 4a³ +3a² - a^4 + 4a³ - 6a²+4a -1] / (a-1)^4
    (-3a^2+4a-1) / (a-1)^4
    -(a-1)(3a-1) / (a-1)^4

    Donc a=1/3



  • on a donc f'(1/3)=1,la tangente à la courbe en J est donc parallèle à D. L'abscisse de J est 1/3



  • a oui!!!!
    merci beaucoup ^^

    pour la suite j'ai réussi a me débloquer 😄

    merci beaucoup pour votre aide et patience!!!! :razz:


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