étude de fonction logarithme
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Eelle31 dernière édition par
J'aurai besoin d'un petit coup de main. Je suis coincée au début de l'énoncé je n'arrive donc pas à faire la suite!
mon énoncé:
Soit la fonction f(x) = -2ln x+ln(6-x) et (Cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d'unité graphique 2cm.1°)déterminer la limite de f en 0.
2°)Soit f' la fonction dérivée de f sur ]0;5]
a) Montrer que f'(x) = (x-12) / [x(6-x)]
b) Etudier le signe de f'(x) pour tout x de ]0;5]MERCI
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SS321 dernière édition par
Bonjour.
Tout d'abord tu as, par construction de la fonction logarithme :
limx→0+ln(x)=−∞\lim _{x \rightarrow {0^{+}}}ln(x) =-{\infty}limx→0+ln(x)=−∞
Il en vient donc, en multipliant par -2 que :
limx→0+−2ln(x)=+∞\lim _{x \rightarrow {0^{+}}}{-2ln(x)} =+{\infty}limx→0+−2ln(x)=+∞
De plus
limx→0+ln(6−x)=ln(6)\lim _{x \rightarrow {0^{+}}}ln(6-x) =ln(6)limx→0+ln(6−x)=ln(6)
Puisque logarithme est continue et parfaitement définie en 6.En faisant la somme des deux dernières expressions tu trouves donc ta limite assez facilement.
Sur ]0;5] ta fonction est parfaitement définie et dérivable, il n'y a aucun piège la dessus donc tu peux la dériver sans problème. Ta fonction se dérive comme une somme donc tu dois d'abord dériver x→-2ln(x) puis dériver x→ln(6-x) (attention ceci est une composée et doit être dérivé comme telle).
Une fois que tu as tes deux moitiés d'expression, tu les additionnes et tu réduit au même dénominateur, le résultat devrais venir tout seul.Enfin tu n'as plus qu'à faire un tableau de signe, en précisant ce que ça implique pour les variations de f, pour répondre à la question b.
$\begin{tabular} {|c|ccccccccccccc|}\hline x&{0}&&&{?}&&&&?&&&&&5\ \hline numerateur&||&{\pm}&&|&&{\pm}&&|&&&{\pm}\ denominateur&||&{\pm}&&|&&{\pm}&&|&&&{\pm}\ \hline f'(x)=\frac{x-12}{x(6-x)} &||&{\pm}&&|&&{\pm}&&|&&&{\pm}\ \hline \ &+\infty&&&&&&&? \ {f}&&\searrow&&&&\nearrow&&&&\searrow&\ &&&&?&&&&&&&?\ \hline \end{tabular}$
P.S : Je sais bien que c'était parfaitement inutile de te rappeler à quoi ressemble un tableau de variations, surtout plein de trous, mais je voulais essayer cette fonctionnalité ;).