Etudier une fonction F

bonjour j'ai un peu de mal à continuer ce DM. Pourriez-vous m'aider?
Le voici:
On suppose qu'il existe une fonction F définie et dérivable sur R et vérifiant:
F(0)=0 et pour tout réel x, F'(x)=1/(1+x²)
Cf est sa courbe représentative.
Le but est d'en faire l'étude san connaitre son expression explicite.

1)Parité

a) Justifier que la fonction G définie par G(x)=F(x)+F(-x) est dérivable et calculer sa dérivée
b) calculer G(0). En déduire que F est impaire

2)Limites de f est + l'infinie

a) Démontrer que H sur H(x)=F(x)+F(1/x) est dérivable sur ]0;+infinie[ et calculer sa dérivée.
b) Démontrer que pour tout x de ]0;+infinie[, H(x)=2F(1) et en déduire lim en +infinie de F(x)=2F(1)
Qu'en déduisez-vous pour la courbe Cf?

3)Un lien avec la fonction tangente
On considère la fonction T définie sur ]-pi/2; pi/2[, par T(x)=F(tanx)-x

a)Démontrer que la fonction T est dérivable sur ]-pi/2; pi/2[ et calculer sa dérivée. Qu'en déduisez-vous pour la fonction F?
b)Calculer T(0). Déduire que pour tout x de ]-pi/2; pi/2[, on a F(tanx)=x
c) Calculer les valeurs exactes de F(1), F(racine de 3), F(1/racine de 3)

4)Variations et construction de Cf

a)Etudier le sens de variation de F sur [0 ;+ infinie[ et dresser le tableau de variations
b)A l’aide des informations précédentes tracer la courbe Cf, préciser les asymptotes et les tangentes à l’origine.

5)La fonction réciproque de la fonction tangente.

a)Donner le tableau de variation de la fonction tangente sur l’intervalle ]-pi/2; pi/2[, tracer sa courbe Cg sur le même graphique
b)Que peut-on mettre comme conjecture relative à la droite delta d’équation y=x ?
c) Démontrer que la symétrie orthogonale S par rapport à delta transforme tout point M de coordonnées(x ;y) en un point S(M)=M’ de coordonnées (x’ ;y’) où x’=y et y’=x (« elle échange les coordonnées »)

J'ai déjà fait les questions 1) et 2) et le début de la 3)a)

Merci beaucoup!

salut

le sujet a déjà été abordé à plusieurs reprises, notamment dans cette discussion ou encore dans celle-ci.

en espérant que leur lecture te soit profitable.