Etudier une fonction F


  • M

    bonjour j'ai un peu de mal à continuer ce DM. Pourriez-vous m'aider?
    Le voici:
    On suppose qu'il existe une fonction F définie et dérivable sur R et vérifiant:
    F(0)=0 et pour tout réel x, F'(x)=1/(1+x²)
    Cf est sa courbe représentative.
    Le but est d'en faire l'étude san connaitre son expression explicite.

    1)Parité

    a) Justifier que la fonction G définie par G(x)=F(x)+F(-x) est dérivable et calculer sa dérivée
    b) calculer G(0). En déduire que F est impaire

    2)Limites de f est + l'infinie

    a) Démontrer que H sur H(x)=F(x)+F(1/x) est dérivable sur ]0;+infinie[ et calculer sa dérivée.
    b) Démontrer que pour tout x de ]0;+infinie[, H(x)=2F(1) et en déduire lim en +infinie de F(x)=2F(1)
    Qu'en déduisez-vous pour la courbe Cf?

    3)Un lien avec la fonction tangente
    On considère la fonction T définie sur ]-pi/2; pi/2[, par T(x)=F(tanx)-x

    a)Démontrer que la fonction T est dérivable sur ]-pi/2; pi/2[ et calculer sa dérivée. Qu'en déduisez-vous pour la fonction F?
    b)Calculer T(0). Déduire que pour tout x de ]-pi/2; pi/2[, on a F(tanx)=x
    c) Calculer les valeurs exactes de F(1), F(racine de 3), F(1/racine de 3)

    4)Variations et construction de Cf

    a)Etudier le sens de variation de F sur [0 ;+ infinie[ et dresser le tableau de variations
    b)A l’aide des informations précédentes tracer la courbe Cf, préciser les asymptotes et les tangentes à l’origine.

    5)La fonction réciproque de la fonction tangente.

    a)Donner le tableau de variation de la fonction tangente sur l’intervalle ]-pi/2; pi/2[, tracer sa courbe Cg sur le même graphique
    b)Que peut-on mettre comme conjecture relative à la droite delta d’équation y=x ?
    c) Démontrer que la symétrie orthogonale S par rapport à delta transforme tout point M de coordonnées(x ;y) en un point S(M)=M’ de coordonnées (x’ ;y’) où x’=y et y’=x (« elle échange les coordonnées »)

    J'ai déjà fait les questions 1) et 2) et le début de la 3)a)

    Merci beaucoup!


  • Zauctore

    salut

    le sujet a déjà été abordé à plusieurs reprises, notamment dans cette discussion ou encore dans celle-ci.

    en espérant que leur lecture te soit profitable.


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