valeur approchée du nombre e

bonjour,

j'ai un petit soucis concernant un exercice sur les exponentielles.

enoncé:

1)a) φ la fonction définie sur R pas φ(x) = exp(x) - (1-x).
étudier les variation de φ:

réponse :

φ'(x) = exp(x) -1 décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0; +∞[

b)en déduire pour tout x ∈ R, 1+x ≤ exp(x)
(1)

réponse:

φ(x) - (x+1) strictement positive sur R donc 1+x≤ exp(x)

puis on pose, pour tout x ∈]-∞ ; 1[ on a exp(x) ≤ 1/(1-x)
(2)
soit n un entier naturel non nul

déduire de l'inégalité
(1)que (1+ 1/n)^n ≤ e

b) déduire de l'inégalité
(2)que e ≤ (1+1/n)^(n+1)

3/soit Un la suite définie pour tout entier naturel n ≥1 par Un = (1+1/n)^n

a) montrer que, pour tout n ≥ 1, 0 ≤ e-Un ≤ 4/n

b) en déduire que Un converge vers e

c) donner un encadrement de e a $10^{-3}$ près.

si vous pouviez m'aider se serait gentil

merci d'avance!

Attention 1b)en déduire pour tout x ∈ ℜ, 1+x ≤ exp(x) (1)
réponse:
φ(x) positive ou nulle sur ℜ donc 1+x≤ exp(x)

2a: dans l'inégalité 1 on remplace x par 1/n et on élève à la puissance n

2b: dans l'inégalité 2 on remplace x par 1/(n+1) et on élève à la puissance n+1

3a: en utilisant les quest précédentes on a:
(1+ 1/n)^n ≤ e≤ (1+1/n)^(n+1)
En soustrayant Un j'obtiens:
0 ≤ e-Un ≤ e/n si on considère que e<4 ça fonctionne

bonjour.
si φ $x)=e^x$ -(1-x)
$e^x$ -1+x
alors
φ' $x)=e^x$
+1
à mon humble avis
@+

en effet je me suis trompé dan sle recopiage de mon exercice, on a bien exp(x) - (1+x)

merci beaucoup je n'avais pas vu qu'on pouvais assimiler 1/(n+1) à x :razz:
merci encore!!!!!

euh j'ai encore un petit probléme... (décidément )

quand je fais : (1+1/(n+1))^(n+1) - (1+1/n)^n

je trouve : (1+1/(n+1))^n × (1+1/(n+1))^1 - (1+1/n)^n

mais aprés... je ne vois pas comment simplifier...

(1+ 1/n)^n ≤ e ≤ (1+1/n)^(n+1)
(1+ 1/n)^n- (1+ 1/n)^n ≤ e-(1+ 1/n)^n ≤ (1+1/n)^(n+1)-(1+ 1/n)^n
0 ≤ e-Un ≤ (1+1/n)^n × (1+1/n)^1 - (1+1/n)^n

0 ≤ e-Un ≤ (1+1/n)^n ×(1+1/n-1)
0 ≤ e-Un ≤ (1+1/n)^n ×(1/n) ≤ e/n (d'après(1)) et e/n ≤ 4/n