Exo sur Somme

Bonjours, j'ai un petit exercice dont le prof nous à donné car il a dit que c'est un classique qu'il donne tous les ans mais la j'ai un gros problème car je n'ai jamais vu ce signe (Somme) n'ayant pas eu ce prof l'année dernière, pouvez-vous m'aider à résoudre cela. Merci
Démontrer que pour tout entier naturel n non nul:
n
∑k=(n(n+1))/2 (Le signe E est le signe Somme)
k=1

n
∑k²=(n(n+1)(2n+1))/6
k=1

n
∑k^3=(n²(n+1)²)/4
k=1

Bonjour (sans S c'st toujours qui en prend un ! )

calculer $,∑p=1p=n,up\text{ a, = ,} \sum_{p=1}^{p=n}, {u_{p}}$ c'est calculer la somme des ${u_{p}}$ en faisant varier p de la valeur 1 à la valeur n

C'est à dire que $,+,un\text{ a, =, } u_1, +, u_2 ,+ ,u_3 ,+, \text{ ..... } ,+, u_n$

Donc $∑k=1k=n,k,=,1,+,2,+,3,+,.....,+,n\sum_{k=1}^{k=n}, {k}, =,1, +,2, +,3, +,..... , +,n$

et $∑k=1k=n,k2,=,12,+,22,+,32,+,.....,+,n2\sum_{k=1}^{k=n}, {k^2}, =,1^2, +,2^2, +,3^2, +,..... , +,n^2$

et $∑k=1k=n,k3,=,13,+,23,+,33,+,.....,+,n3\sum_{k=1}^{k=n}, {k^3}, =,1^3, +,2^3, +,3^3, +,..... , +,n^3$

C'est ça la démonstration ?
ou dois-je donner des exemples ?

Non ce que j'ai écrit n'est pas une démonstration ; ce sont des explications pour les termes de gauche des 3 démonstrations que tu dois faire.

Il faut montrer que pour tout n on a

$,\frac{,n,(n+1),}{2}$

etc ...

Une démonstration par récurrence marche dans les 3 cas !

Je tiens à ajouter que bien qu'en effet, la démonstration par récurrence marche pour chaque des cas, la première somme peut être démontrée d'une manière bien plus élégante.
Une méthode qui, selon la légende, aurait été démontrée par Gauss et utilisée pour calculer la somme des 100 premiers nombres de tête tandis qu'il était à l'école primaire.

P.S : Mes profs m'ont toujours apprit à ne faire de démonstration par récurrence que si c'est absolument nécessaire. La démonstration en sens directe étant bien plus gracieuse (et généralement beaucoup plus courte).

la démonstration par récurence c'est la démonstration avec l'hérédité c'est ça ?