exercice sur les limites et bijection

[couettecouette56]

soi f la fonction sur ]0;+inf/ [ par f(x)= $sqrt$(x)- (1 div/ $sqrt$x)

1. déterminer les limites de f en 0 et en +inf/ .
2. on admet que f est strictement croissante sur ]0;inf/ [.
   a) démontrer que l'équation f(x)=1 admet une seule racine qu'on note β.
   b) déterminer à la calculatrice un encadrement de β d'amplitude 0,1.
3. démontrer que le solution β de l'équation f(x)=1 vérifie β^2 -3β+1=0
   En déduire la valeur exacte de β.

j'ai trouvé la première question mais les autres j'ai un peu de mal. merci de m'aider.

[Zauctore]

Salut.

Pour 2) a)
f prend des valeurs positives et négatives, n'est-ce pas ? d'après l'étude des limites. f étant strictement croissante, un théorème du genre "valeurs intermédiaires" donne l'existence et l'unicité de la solution de f(x) - 1 = 0. En fait, il suffit que f prenne des valeurs inférieures à 1 et supérieures à 1 pour qu'elle atteigne la valeur 1. Et c'est la stricte monotonie qui assure l'unicité de cet événement.

Pour 3)
pour b>0,
f(b) = 1
equiv/ (b - 1)/$sqrt$b = 1
equiv/ b - 1 = $sqrt$b
equiv/ b² - 2b + 1 = b
d'où ta relation...
Il reste à résoudre l'équation du 2d degré pour trouver b.