3. Racine complexe

Racine complexe

  • I

    Bonsoir,

    L'énoncé :

    p(z)=z4−3z3+92z2−3z+1p(z) = z^4 - 3z^3 + \frac{9}{2}z^2 - 3z + 1p(z)=z4−3z3+29​z2−3z+1

    1. z′‾\overline{z'}z′ et pour 1z′\frac{1}{z'}z′1​

    Je bloque sur cette 1ère question et ne peut donc pas poursuivre le DM.

    Je pense qu’il faut calculer p(z′‾)p(\overline{z'})p(z′):

    p(z′‾)=...=p(z′)=0p(\overline{z'}) = . . . = p(z') = 0p(z′)=...=p(z′)=0 . . . mais je ne vois pas comment.

    avec zn‾=(z‾)n\overline{z^n} = (\overline{z})^nzn=(z)n ?

    Si vous pouviez me mettre sur la piste . . . je vous en remercie d’avance.

    Zorro 1 réponse
  • Zorro

    Bonjour,

    Non (z‾)n(\overline{z})^n(z)n n'est pas égal à zn‾\overline{z^n}zn

    Je n'ai pas trop regardé mais il me semble qu'il doit-être préférable d'écrire Z' , solution de f(Z)=0 , sous la forme exponentielle.

    I 1 réponse
  • I

    Bonsoir,

    Très bien, je vais passer par la forme exponentielle. C'est le tout dernier cours, on ne l'a pas encore appliqué.

    Merci beaucoup !

    Zorro 1 réponse
  • Zorro

    Ah ! tu ne connais pas la forme exponentielle d'un complexe !

    Alors je vais essayer de réfléchir sur un autre indice .

    I 1 réponse
  • I

    Bonsoir,

    Bon, même en passant par la forme exponentielle, je n’y arrive pas.

    Avec :
    z′=reiθz'=re^{i\theta}z′=reiθ

    p(z′)=0↔r4e4iθ−3r3e3iθ+92r2e2iθ−3reiθ+1=0p(z') = 0 \leftrightarrow r^4e^{4i\theta}-3 r^3e^{3i\theta}+\frac{9}{2}r^2e^{2i\theta}-3 re^{i\theta}+1=0p(z′)=0↔r4e4iθ−3r3e3iθ+29​r2e2iθ−3reiθ+1=0

    p(z′‾)=r4e−4iθ−3r3e−3iθ+92r2e−2iθ−3re−iθ+1p(\overline{z'})=r^4e^{-4i\theta}-3 r^3e^{-3i\theta}+\frac{9}{2}r^2e^{-2i\theta}-3 re^{-i\theta}+1p(z′)=r4e−4iθ−3r3e−3iθ+29​r2e−2iθ−3re−iθ+1

    Mais comment poursuivre ? Comment utiliser P(Z’)=0

    Merci pour votre aide.

    I 1 réponse
  • I

    Bonjour à tous,

    Pas de réponse . . .

    Je rappelle l’énoncé :
    p(z)=z4−3z3+92z2−3z+1p(z)=z^4-3z^3+\frac{9}{2}z^2-3z+1p(z)=z4−3z3+29​z2−3z+1

    1. α\alphaα $\overline{\alpha$ et 1α\frac{1}{\alpha}α1​

    Les questions 2) et 3) c’est OK

    Je reste bloqué sur la 1)

    En utilisant la forme exponentielle préconisée par Zorro :

    Soit α\alphaα racine de P(z)

    α=reiθ\alpha=re^{i\theta}α=reiθ

    p(α)=0↔r4e4iθ−3r3e3iθ+92r2e2iθ−3reiθ+1=0p(\alpha) = 0 \leftrightarrow r^4e^{4i\theta}-3 r^3e^{3i\theta}+\frac{9}{2}r^2e^{2i\theta}-3 re^{i\theta}+1=0p(α)=0↔r4e4iθ−3r3e3iθ+29​r2e2iθ−3reiθ+1=0

    p(α‾)=r4e−4iθ−3r3e−3iθ+92r2e−2iθ−3re−iθ+1p(\overline{\alpha})=r^4e^{-4i\theta}-3 r^3e^{-3i\theta}+\frac{9}{2}r^2e^{-2i\theta}-3 re^{-i\theta}+1p(α)=r4e−4iθ−3r3e−3iθ+29​r2e−2iθ−3re−iθ+1

    p(1α)=r−4e−4iθ−3r−3e−3iθ+92r−2e−2iθ−3r−1e−iθ+1p(\frac{1}{\alpha})=r^{-4}e^{-4i\theta}-3 r^{-3}e^{-3i\theta}+\frac{9}{2}r^{-2}e^{-2i\theta}-3 r^{-1}e^{-i\theta}+1p(α1​)=r−4e−4iθ−3r−3e−3iθ+29​r−2e−2iθ−3r−1e−iθ+1

    Comment aboutir à :
    p(α‾)=o?p(\overline{\alpha})=o ?p(α)=o? et
    p(1α)=o?p(\frac{1}{\alpha})=o ?p(α1​)=o?

    Je fais fausse route ? Je passe à coté d’une évidence ?

    J'ai vraiment besoin d'un coup de pouce pour cette question, je vous en remercie

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    Salut

    puisque les coefficients sont tous réels, tu as bien entendu
    p(z‾)=p(z)‾p(\overline{z}) = \overline{p(z)}p(z)=p(z)​
    réfléchis-y, ça prouvera la première partie de la question 1 !
    ensuite, pour la deuxième; c'est comme pour les équations symétriques... puisque α\alphaα est solution alors nécessairement α≠0\alpha \ne 0α​=0 et tu peux tout diviser par α4\alpha^4α4...

    I 1 réponse
  • I

    Bonjour,

    Merci beaucoup, je vais réfléchir dans ce sens.

    p(z‾)=p(z)‾p(\overline{z}) = \overline{p(z)}p(z)=p(z)​

    Ca ne me dis rien. Je vais fouiller mon cours et les bouquins.

    Je donerai des nouvelles, merci encore et bonne journée.

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    bon alors je te montre : tu as
    p(z‾)=z‾4−3z‾3+92z‾2−3z‾+1 =z4−3z3+92z−3z+1‾ =p(z)‾p(\overline{z}) = \overline{z}^4 - 3\overline{z}^3 + \frac{9}{2}\overline{z}^2 - 3\overline{z} + 1 \ = \overline{z^4 - 3z^3 + \frac92z - 3z + 1} \ = \overline{p(z)}p(z)=z4−3z3+29​z2−3z+1 =z4−3z3+29​z−3z+1​ =p(z)​
    ceci tient au fait que tout nombre réelest égal à son conjugué.

    I 1 réponse
  • I

    Bonjour à tous,

    Merci pour cette précision.
    Cela vient de l'égalité zn‾=(z‾)n\overline{z^n}=(\overline{z})^nzn=(z)n il me semble.

    Grace à vous, je m'en sort, y compris pour 1α\frac{1}{\alpha}α1​, j'ai pigé ... en divisant p(α)parα4p(\alpha) par \alpha^4p(α)parα4

    Merci de votre aide.

    Ce forum est précieux, vous êtes précieux ... bonne journée à tous

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    oui, c'est vrai pour la propriété des puissances vis-à-vis du conjugué ; mais je le redis, cela vaut surtout parce que les coefficients sont réels: ce ne serait plus vrai si les coefficients de P avaient été complexes...

    I 1 réponse
  • I

    Je comprends bien, d’ailleurs, j’avais essayé une autre méthode :

    p(z)=o↔p(z)=o \leftrightarrowp(z)=o↔

    z2−3z+52z^2-3z+\frac{5}{2}z2−3z+25​ avec z=z+12z=z+\frac{1}{2}z=z+21​

    <img style="vertical-align:middle;" src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta=-1<0"> donc 2 racines complexes Z1 et Z2 telles que :

    z1=3+i2−z2=3−i2z1=\frac{3+i}{2} - z2=\frac{3-i}{2}z1=23+i​−z2=23−i​

    Les solutions de P(z)=0 sont les racines des polynômes :

    2z2−(3+i)z+2=0et2z2−(3+i)z+2=02z^2-(3+i)z+2=0 et 2z^2-(3+i)z+2=02z2−(3+i)z+2=0et2z2−(3+i)z+2=0

    Mais les facteurs de ces polynômes ne sont pas réels . . . nouvelle impasse donc !

    J’étais alors revenu vers la forme exp.

    Je viens de comprendre aussi ce que vous appelez équation symétrique . . . le facteur du degré 4 est égal au degré 0, le degré 3 = degré 1. Je n’avais pas pigé.
    Intéressant à retenir

    Merci encore

Se connecter pour répondre