3. Fonctions limites et dérivations

Fonctions limites et dérivations

  • M

    Bonjour a tous voici un exercice sur les fonctions limites et dérivation j'ai essayer de tout faire mais je suis pas sur de se que j'ai fait par contre il y deux questions ou je n'ai rien réussit à faire. Merci de me dire se qui ne vas pas.

    ENONCE:
    PARTIE A:
    Soit la fonction g définie sur ]0;+∞[ par g(x) = 2x²+1-lnx

    1. Déterminé g', étudier le signe de g'(x) et dresser le tableau de variation de g (on ne demande pas les limites en +∞ et 0)
    2. En déduire le signe de g(x) pour tout x de ]0;+∞[.

    PARTIE B:
    Soit la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)= 2x+(lnx/x). On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans le repère orthogonal de 2cm.

    1. a) Déterminer lim f(x). Que peut-on en déduire de la courbe C?
      x→0
      b) Déterminer lim f(x)?
      x→+∞

    2. a) Montrer que la courbe C admet la droite d'équation y=2x comme asymptote.
      b) Etudier la position relative de C et D pour tout nombre réel de x de ]0;+∞[.

    3. a) Montrer tout nombre réel de x de ]0;+∞[, f'(x)= (g(x)/x²)). En déduire le signe de f'(x) sur ]0;+∞[.
      b) Dresser le tableau de variation de la fonction f.

    4. Tracer C et D.

    EXERCICE

    Partie A:

    1. g(x)=2x²+1-lnx sur ]0;+∞[
      g'(x)=4x-(1/x)
      g'(x)=(4x²-1/x)

    Signe de g'(x):
    g'(x)≥0
    (4x²-1/x)≥0 x≠0 car valeure interdite au dénominateur.
    Sur R \ (0) 4x²-1≥0
    x²≥(1/4)

    On a donc comme solutions: x≥(1/2) et x≤(-1/2).

    0 (1/2) +∞

    4x²-1 - 0 +

    x +

    g'(x) - 0 +

    g(x) décroissante croissante

    g(1/2)= (3/2)- ln (1/2)

    1. Signe de g(x) sur ]0;+∞[

    La fonction g(x) atteint un minimum de (1/2) sur l'internvalle donné se
    minimum étant (3/2)-ln(1/2)>0.
    Donc g(x)>0 car son minimum est strictement positif.

    PARTIE B:

    1. a)

    f(x)= 2x+(lnx/x)
    f(x)= 2x + lnx * (1/x)

    lim 2x=0
    x→0

    lim lnx=-∞ donc lim f(x) = -∞
    x→0 x→0

    lim (1/x)=+∞
    x→0

    Si lim f(x) = -∞ , alors on dit que la droite d'équation x=0 est une
    x→0
    asymptote verticale à la courbe représentant la fonction f.

    b)

    lim 2x = +∞
    x→+∞
    donc lim f(x)= +∞
    lim (lnx/x)= 0 x→+∞
    x→+∞

    1. a) et b) Pas réussit à répondre.

    2. a)

    Montrer que f'(x)= (g(x)/x²):

    f'(x)= 2+((1/x)*x-(lnx)*1)/x²))
    = ((2x²+1/x²)-(lnx/x²))
    = (2x²+1-lnx/x²)

    g(x)/x²=(2x²+1-lnx/x²)= f'(x).

    On a bien f'(x)= g(x)/x²

    Le signe de f'(x) est strictement positif sur ]0;+∞[ car on a x² au dénominateur.

    b)

    x 0 +∞

    f'(x) +

    f(x) -∞ croissante +∞

    aprés il faut tracer C et D.

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