Demande de correction sur inégalités

Bonjour, je vous pose un autre exercice de mon DM, cela porte sur les inégalités :

ENONCE :

1/ Démontrer pour tout entier naturel n l'inégalité $4n2+1≤2n+1\sqrt{4n^{2}+1}\leq2n+1$

2/ Démontrer pour tout entier naturel n l'inégalité $2n2+2−1≥n\sqrt{2n^{2}+2}-1\geq n$

MES REPONSES :

1/ $4n2+1≤2n+1\sqrt{4n^{2}+1}\leq2n+1$ car pour :

n = 2
$4×22+1≤2×2+1\sqrt{4\times2^{2}+1}\leq2\times2+1$
$17≤5\sqrt{17}\leq 5$
$17\sqrt{17}$ ≈ 4,123... ≈ 4 ; en effet, $17\sqrt{17}$ est inférieur à 5

n = 0
$4×02+1≤2×0+1\sqrt{4\times0^{2}+1}\leq2\times0+1$
$1≤11\leq 1$ ; en effet, 1 est égal à lui même.

Pour n > 0, <img style="vertical-align:middle;" alt="\sqrt{4n^{2}+1}<2n+1" title="\sqrt{4n^{2}+1}<2n+1" src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\sqrt{4n^{2}+1}<2n+1">
Pour n = 0, $4n2+1=2n+1\sqrt{4n^{2}+1}=2n+1$

2/ $2n2+2−1≥n\sqrt{2n^{2}+2}-1\geq n$
car pour :
n = 0
$2×02+2−1≥0\sqrt{2\times0^{2}+2}-1\geq 0$
$−1+2≥0-1+\sqrt{2}\geq 0$
$−1+2-1+\sqrt{2}$ ≈ 0,414... ; en effet, $−1+2-1+\sqrt{2}$
est supérieur à 0.

n = 1
$2×12+2−1≥1\sqrt{2\times1^{2}+2}-1\geq 1$
$1≥11\geq 1$ ; en effet, 1 est égale à lui même.

n = 2
$2×22+2−1≥2\sqrt{2\times2^{2}+2}-1\geq 2$
$−1+10≥2-1+\sqrt{10}\geq 2$
$−1+10-1+\sqrt{10}$ ≈ 2,162... ; en effet, $−1+10-1+\sqrt{10}$
est supérieur à 2.

Pour n = 0, $2n2+2−1≥n\sqrt{2n^{2}+2}-1\geq n$
Pour n = 1, $2n2+2−1=n\sqrt{2n^{2}+2}-1=n$
Pour n = 2, $2n2+2−1≥n\sqrt{2n^{2}+2}-1\geq n$

Merci d'avance pour votre correction

Bonjour,

tout d'abord une petite remarque ( pour demontrer qu'une egalite est vraie il faut demontrer que c'est vraie pour tout entier n )

Pour cela, pour tout entier naturel n

( √(4n² + 1) )² = 4n² + 1
( 2n + 1 )² = 4n² + 1 + 4n
avec, 4n ≥ 0 ( car n est un entier naturel )

donc, 4n² + 1 ≤ 4n² + 1 + 4n

et comme, √(4n² + 1) et 2n + 1 sont deux nombres positifs

alors, √(4n² + 1) ≤ 2n + 1

il suffit de demontrer que, pour tout entier naturel n,
√(2n² + 2) ≥ n + 1

en effet,

( √(2n² + 2) )² = 2n² + 2
= n² + 1 + n² + 1

( n + 1 ) ² = n² + 2n + 1

or, pour tout entier naturel n, on sait que :
( n - 1 )² ≥ 0
donc, n² + 1 ≥ 2n

par suite, ( √(2n² + 2) )² ≥ ( n + 1 ) ²

et comme, √(2n² + 2) et n + 1 sont deux nombres positifs

alors, √(2n² + 2) ≥ n + 1
d'ou, √(2n² + 2) - 1 ≥ n

Merci beaucoup pour vos explications ! Bonne année et à la prochaine !