Montrer que l'ensemble des images appartiennent au disque dans C

bonjour , pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Voila l'énoncé :
le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (o,u,v)a tout point M du plan d'affixe z on associe le point M' d'affixe z' tel que :

z'=2z/1+zz'
montrer que l'ensemble des images M' appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.

je ne sais pas comment procédé merci d'avance

nombres complexes

Bonjour.

Ta notation est sans doute fausse même si je peux aisément replacer la parenthèse ça reste ennuyeux. De plus vérifie que c'est bien z prime et pas z barre, sinon il faut que tu arranges un peu cette relation, on laisse pas du z' des deux cotés, c'est pas propre. Quoi que pour ce que je vais dire ça n'a aucune importance.

A priori on ne te demande qu'un seul sens. C'est à dire qu'ils ne demandent pas de prouver que le disque de centre O et de rayon 1 est l'ensemble des images (ce qui est très probablement faux).
Dans ces cas là on procède plutôt en partant de la fin. Demande toi ce que tu veux prouver exactement avant de le prouver.

En effet, à partir d'un point du plan tu en connais son image puisque tu as une relation qui te la donne. C'est une partie du problème que tu connais ce n'est donc pas ce que tu cherches.
Ce que tu veux c'est que ce point image appartienne au disque de centre O et de rayon 1. Ça tu connais pas bien. C'est quoi un point de ce disque ?

Un point de ce disque c'est un point dont la distance à l'origine est inférieure à 1. C'est à dire que M' appartient au disque si et seulement si |z'|≤1.
Tu résout donc le problème si tu montre que quelque soit un point M d'affixe z du plan (c'est à dire si pour un point M d'affixe z fixé quelconque) le module de l'affixe de son point image est forcément plus petit que 1 (ou égal bien sûr).

Je te laisse faire les calculs. Pour pouvoir les faire il me faudrait être sûr d'avoir la bonne relation d'hypothèse. Et quand bien même, je ne les aurais pas fait. Je hais les calculs ;).

Salut.

S321
C'est à dire qu'ils ne demandent pas de prouver que le disque de centre O et de rayon 1 est l'ensemble des images (ce qui est très probablement faux).
C'est pourtant exactement le cas si on considère $z′=2z1+zzˉz'=\frac{2z}{1+z\bar{z}}$ . Il suffit de passer à la notation exponentielle, et c'est immédiat.

@+

merci pour votre aide mais je ne sais pas quelle relation faut-il trouver .

Si tu nous disais si Jeet-chris a bien deviné ton expression ?

$z′,=,,2z,,1,+,z,z,ˉz',=,\frac{,2z,}{,1,+,z\bar{,z,}}$

A la place de ton expression assez ambigüe pour ce qui concerne le dénominateur de la fraction dont tu causes !

Bonsoir.
Malgré les erreurs dans ton énoncé et sachant qu'on ne peut répondre à rien si on ne connais pas la question (on a pas ton DM sous les yeux) je pense qu'on t'a déjà donné pas mal d'indices.

La relation que tu dois trouver, je te l'ai donné. Du moins pour le sens direct, il faut que tu montres que si M' est l'image d'un point du plan par la transformation que tu as donné, alors |z'|≤1.
Vu que la réciproque est vraie (parait-il) il est donc probable que ton énoncé te demande de la démontrer. Pour ça tu dois montrer que si un un complexe z' est tel que |z'|≤1 alors le point M' d'affixe z' est l'image d'un point M du plan.

Dit comme ça, ça semble long à faire mais en fait il y a de bonnes chances que le tout se démontre par équivalences et donc que tu démontre le sens direct et la réciproque en même temps.
Jeet-Chris dit qu'il faut passer à la notation exponentielle. C'est aussi ce que j'aurais fait. Ça à l'air d'être une bonne piste à suivre.

Tu demande quelle relation tu dois trouver alors qu'on te l'a déjà dit et qu'on t'a même dit comment y parvenir. A toi de faire un petit effort. On ne répondra pas à ta place.