dérivabilité en 0 de f(x) = x^2 cos(1/x) etc. : au secours dérivabilité et continuité

[touloulou]

bonjour,

je suis élève en TS ET j'ai des soucis sur cet exercice,est-ce que quelqu'un peut m'aider ?

f(X) = X^2 cos (1/X) et f(o) = o

montrer que f est continue sur R ?

est-ce que si X^2 ,cos X et 1/X sont continus sur R -(o) et que f(o)=o ca suffit pour dire que la fonction est continue sur R

montrer que f est dérivable sur R ?
X^2 ,cos X et 1/X sont dérivables sur R -(o) donc f aussi

lim (f(x)-f(o)) / (x-o) = (X^2 COS(1/X) -O) / x = x cos (1/X ) et là je suis bloquée ,comment montre t'on que la lim = o et donc que f'(o) = o ,j'ai essayé avec quand x tend vers o le théorème des gendarmes mais je n'y arrive pas !

montrer que f' est dérivable sur R ?

f'(x) =

u(x) = x^2 v(x) = cos (1/X)
u'(x) = 2X v'(x) = -sin(1/X ) / (x^2)

donc f'(x) = 2X Cos(1/X) - ( sin (1/X) /X^2 ) *X^2 = 2X cos (1/X) - sin (1/X)
meme chose ,sin ,cos ,x et 1/x dérivable sur R-(o) et on calcul taux de variation pour o ?

merci d'avance de votre aide

[Zauctore]

salut

*1. est-ce que si X^2 ,cos X et 1/X sont continus sur R -(o) et que f(o)=o ca suffit pour dire que la fonction est continue sur R *

non, ça ne suffit pas : il faut de plus que les valeurs de f(X) tendent vers f(0), lorsque X tend vers 0.

il suffit de remarquer que -1 ≤ cox(1/X) ≤ 1, n'est-ce pas ?
donc f(X) est toujours compris entre...

c'est à partir de ça que tu prouveras la continuité de f en 0.

[touloulou]

merci pour les indications,g réussi à faire le reste mais g un pb pour cette question
montrer que f' est dérivable sur R ?

f'(x) =

u(x) = x^2 v(x) = cos (1/X)
u'(x) = 2X v'(x) = -sin(1/X ) / (x^2)

donc f'(x) = 2X Cos(1/X) - ( sin (1/X) /X^2 ) *X^2 = 2X cos (1/X) - sin (1/X)

par contre là g encore un soucis ,si j'applique la meme méthode :

lim (f '(x) - f'(o)) / (x-o) = lim (2X cos (1/X) - sin (1/X ) - o ) / x
qd x tend vers o

= lim (xcos (1/X ) - sin (1/X )/ X ) et après je suis coincée ...

[Zauctore]

1. tu as écris que 1/X est dérivable sur R : fais attention quand même, il faut exclure la valeur 0.

2. bon tu as des théorèmes généraux pour expliquer que f est dérivable sur R{0} ; le cas de 0 étant à envisager séparément.

alors pour cela, tu formes bien

$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x^2\cos (1/x)-0}{x}=x\cos (1/x)$
le même encadrement que tout à l'heure marche encore pour montrer que $f^{\prime }(0)=0$.

3. tu as ensuite trouvé que
   $f^{\prime }(x)=2x\cos (1/x)-\sin (1/x)$
   déjà je dirais plutôt un signe +

pour le taux de variation que tu formes ensuite,

$\frac{x\cos (1/x)+\sin (1/x)}{x};=;\cos (1/x),+,\frac{\sin (1/x)}{x}$
qu'est-ce que tu penses de la limite de ce truc lorsque X tend vers 0 ? car pour les réels autres que 0, la dérivabilité est acquise par les théorèmes généraux.