Loi de refroidissement/ equa diff

Bonjour tout le monde,

voila, j'ai un exercice de maths (c'est quasiment de la physique en fait!!) a faire et je bloque dessus...
voici l'enoncé:

Un thermomètre indique la temperature d'une piece (20°C). On le place sur le bord d'une fenetre,a l'exterieur, ou la temperature est de 4°C. Au bout de 3 minutes, il indique 8°C. La loi de Newton s'enonce ainsi: "la vitesse de refroidissement d'un corps inerte est proportionelle a la difference de temperature entre ce corps et le milieuambient".

On note f(t) la temperature en fonction du temps ecoulé depuis le changement de milieu du thermometre (t en min et f(t) en °C)

Traduire cette loi par une equa diff verifiée par la temperature f(t)
On pose g(t)=f(t) - 4 ; Montrer que g est derivable sur 0;+inf et que pour tout t≥0 g'(t)=kg(t)
En deduire l'expression de g(t) en fonction de t et k
exprimer alors f(t) en fonction de t et calculer la constante k
etudier et representer graphiquement la fonction f.

Voila ce que j'ai fait pour le moment:

j'ai trouvé comme equa diff: f '(t)= k( f(t)-4) en fait j'hesite entre f(t)-4 et f(t)-20, mais vu la question 2 je dirais qu'il faut prendre 4 pour le temperature
il suffit de dire que la fonction g est composée d'une différence entre une fonction derivable et un nombre? et pour la deuxieme partie ... je remplace et j'ecris que f '(t)=k*g(t) mais apres comment ecrire que c'est g(t) qui est egal a ca ?
on a l'equa diff y'=ky
solutions de la forme y= $Ce^{kx}$
condition initiale: g(0)=f(0)-4 = ?? la je sais pas si f(0)=20 ou f(0)=4, logiquement ce serait 20 car sinon tout s'annule, non?
ce qui donne y(0)= 16
d'ou la solution est la fonction $g(t)=16e^{kt}$ ??????????????? (pas sur du tout!!!!)
dapres mon truc bizarre au 3) ca me donnerai: f(t)= $16e^{kt}$ - 4 (en remplacant dans g(t)= f(t)-4 )
et je fais comment pour calculer k dans tout ca???

Merci de bien jeter un coup d'oeil sur tout ca!!
Bye

Salut.

Je pense comme toi. Le milieu ambiant est devenu l'extérieur de température 4°C.
Pour le début je suis d'accord : la température (f) est continue, donc f' l'est vu que f'(t) = k*(f(t)-4). Comme f' est continue, f est bien dérivable en tout point de l'ensemble, donc g aussi.

Pour la seconde partie, le plus simple est de directement dériver l'expression g(t)=f(t)-4.

Cela me semble correct. Initialement le thermomètre indiquait 20°C, donc sa température était bien de 20°C. Normalement 4°C devrait être sa température finale, donc f doit tendre vers 4°C à la fin de l'exercice si on ne s'est pas trompé.
Petit problème de signe, tu as remplacé f et non g par son expression.

Pour calculer k tu sais que au bout de 3min (t=3), la température du thermomètre est de 8°C (f(3)=8°C).

@+

merci pour la verification, c'est tres sympa!

par contre pour calculer au petit 4) a part en utilisant le ln je vois pas comment faire (on n'a pas encore fait les logarithmes en cours...)

Salut.

Ben t'as pas le choix, c'est le ln.

@+