la géométrie avec les nombres complexes ....

Bonsoir à tous,
J'ai un dm à rendre pour jeudi et je dois dire que même si je m'y prend à l'avance, je reste bloqué sur un exercice dont je vous donne l'énoncé et les questions:

Dans le plan complexe, on considère le point A d'affixe 1 et le cercle de diamètre [O;A] ; O est l'origine. Soit M d'affixe m un point quelconque du cercle, distinct de A et O. On trace les carrés directs MAPN et OMKL. Soient k,l,n,p les affixes des points K,L,N,P.

1°) Faire la figure ---> pas de pb à ce niveau là !!
2°) Démontrer que |m - 1/2| = 1/2
3°) Démontrer que l'on a : l = im et p = -im + 1 +i
4°) Démontrer que l'on a : n = (1-i)m +i et k = (1+i)m
5°)Démontrer que le milieu oméga du segment [PL] est fixe (ne dépend pas de la position de M sur le cercle). Justifier que oméga est sur le cercle.
6°) Démontrer que la distance KN est constante. Quelle est la nature du triangle OmégaNK?
7°) Démontrer que le point N est sur un cercle fixe ( indépendant du point M). Donner son centre et son rayon)

Voilà, j'ai tenté de trouver avec les formules de rotation et ce n'est pas expliqué dans les bouquins non plus .....

Merci beaucoup d'avance de m'aider car je suis bloqué ...... merci