derivation arctan

[lmp]

comment peut on dériver arctan(racine( (1-x)/x) ) ?
je m acharne dessus mais je n'y arrive pas

[valek711]

je crois qu'il t'es permis de jetter un coup d'oeil sur un tableau de valeurs pour les dérivées avec les cotangentes et les tangentes avec leur propriétés saches que ajouté à cela $sqrt$u)'=u'/$sqrt$u) tu dois d'abord essayer de toi même avant d'être aidé c'est le principe

[Jeet-chris]

Salut.

Pas convaincu par ta formule, valek711. Vu qu'une racine c'est une puissance 1/2, on devrait la retrouver dans ta dérivée.

Je vais juste t'aiguiller un peu plus.

$f(x)=arctan\sqrt{\frac{1-x}{x}}=arctan\sqrt{\frac{1}{x}-1}$

Je me suis permis de légèrement modifier la forme sous la racine parce que ça va t'aider quand tu devras la dériver.

Le tout ici, c'est de connaitre les dérivées de l'arctangente, d'une racine, d'une fraction, et surtout d'une composée de fonctions.

Ce que l'on fait lorsque l'on dérive une composée, c'est comme d'habitude sauf qu'à la fin on multiplie par la dérivée de ce qu'il y a dans la fonction. Si je commence l'opération, ça va faire ceci (les notations ne sont pas exactes, mais c'est pour le principe) :

$f(x)=arctan\left(g(x)\right)$
Donc
$f^{\prime }(x)=arcta{n}^{\prime }\left(g(x)\right)\cdot g^{\prime }(x)$
Avec
$g(x)=\sqrt{\frac{1}{x}-1}$

Donc comme la dérivée de l'arctangente c'est $arcta{n}^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$, on en est à ici :

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+g(x{)}^2}\cdot g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+{\sqrt{\frac{1}{x}-1}}^2}\cdot g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{x}-1}\cdot g^{\prime }(x)=\frac{1}{\frac{1}{x}}\cdot g^{\prime }(x)=x\cdot g^{\prime }(x)$
Avec
$g(x)=\sqrt{\frac{1}{x}-1}$

Tu vois, c'est déjà beaucoup plus simple.
Il ne reste plus qu'à continuer comme ça en dérivant cette fois g.

@+