Tracage d'une ellipse


  • M

    Bonjour je dois etudier la symetrie d'une ellipse et la tracer.
    Pour l'etude de l'ellipse je pense que c'est bon mais je n'arrive pas a la tracer , il y a 3 repères et je galère un peu ... si quelqu'un pouvait m'aider ca fera mon plus grand bohneur de la journée

    On a : f(x,y)=2x²-4xy+5y²+12x-24y+24=0
    Je trouve que :
    Le centre de symetrie I(xo,yo)= I(-1,2)

    donc les formules de changement de repères sont :
    x=-1+X
    y=2+Y

    Q(X,Y)=2X²-4XY+5Y²-6

    après diagonalisation:
    D=|1 0 |
    |0 6 |

    j'ai : Q(X',Y')=X'²+6Y'²-6

    et donc une ellipse qui a pour equation
    X'²/ (√(6))² + Y'²/1² = 1

    et je suis perdue pr le tracage ....


  • L

    Bonjour,
    Je trouve les mêmes résultats que toi.
    On a donc Q(X,Y)=2X^2-4XY+5Y^2-6
    ⇔ Q(X,Y)=tY)=^tY)=tTAT -6 où T est le vecteur colonne tel que t^ttT= ( X Y )
    et où A est la matrice dont la 1ere ligne est ( 2 -2 ) et la 2e ligne ( -2 5 ).
    En diagonalisant en base orthonormée A : A=P<em>D</em>P−1A=P<em>D</em>P^{-1}A=P<em>D</em>P1 où √5P=√5</em>t5</em>^t5</em>tP=√5<em>P−15<em>P^{-1}5<em>P1=( ( 2 1 ) , ( 1 -2) ) (càd 1 ere ligne ( 2 1); 2e ligne ( 1 -2 ) ) et D=diag(1;6).
    En posant T'=P
    T où t^ttT'=( X' Y' )
    on obtient Q(X',Y')=)=t)=)=_t)=)=tTAT −6=t-6=^t6=t(PT)D(PT) −6=t-6=^t6=tT'DT' - 6 = X'² + 6Y'² - 6

    D'où l'équation finale X'²/ (√(6))² + Y'²/1² = 1
    Grâce à la matrice P et si on désigne par (e1(e_1(e1,e2e_2e2) la base canonique initiale de mathbbRmathbb{R}mathbbR² alors l'équation finale correspond au repère (I;e'1_11,e'2_22) où e'1_11=(1/√5)(2e5)(2e5)(2e_1+e2+e_2+e2) et e'2_22=(1/√5)(e15)(e_15)(e1 - 2e22e_22e2)

    Tu peux donc tracer ton nouveau repère. Ensuite tu remplace X' par 0 dans l'équation finale pour voir que Y' vaudra alors -1 ou 1 et de même quand Y' vaut 0 X' vaut +√6 ou -√6. Tu peux alors tracer l'ellipse car tu connais son allure.

    Au revoir !


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