Démonstrations dopérations sur les dérivées

Bonjour,
Pour demain j'ai des démonstrations au sujet des opérations sur les dérivées et je bloque complètement sur deux en particulier :
Montrer que pour $f(x)=x^n$ alors f' $x)=nx^{n-1}$

Et la deuxième ça y ressemble c'est montrer que pour $f(x)=1/(x^n$ ) alors f'(x)= $n/(x^{n+1}$ )

Je ne sais pas du tout comment faire.

Aidez-moi svp

Merci par avance

Bonjour.
On te demande de le démontrer ? Eh beh !
Ce que tu dois faire c'est montrer que la fonction est dérivable en tous points, pour ça tu prends un point $x_0$ ∈ $r\mathbb{r}$ quelconque et tu montre que la fonction est dérivable en $x_0$ .
(Si en prenant un point quelconque de $r\mathbb{r}$ la fonction est dérivable en ce point alors elle est dérivable sur $r\mathbb{r}$ tout entier).

Pour montrer que ta fonction f:x→ $x^n$ est dérivable en $x_0$ et trouver le nombre dérivée de f en $x_0$ il te faut revenir à la définition de la dérivation donc analyser le taux d'accroissement :

Soit $x_0$ ∈ $r\mathbb{r}$
Pour tout x∈ $r\mathbb{r}$

$f(x)−f(x0)x−x0=xn−x0nx−x0\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\frac{x^{n}-x_{0}^{n}}{x-x_{0}}$
ce qui nous donne, en mettant $x^n$ en facteur en haut en x en facteur en bas :
$f(x)−f(x0)x−x0=xn−1×1−(x0x)n1−x0x\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=x^{n-1}\times {\frac{1-(\frac{x_{0}}{x})^{n}}{1-\frac{x_{0}}{x}}}$

Je ne sais pas si vous avez vu ça (ça me parait difficile à voir pour quelqu'un en $1eˋre1^{ère}$ ) mais la fraction qui reste tend vers n quand x tends vers $x_0$ , peut-être vaut mieux-t-il que tu le redémontre.
En tout cas ça donne :
$lim⁡<em>x→x0f(x)−f(x</em>0)x−x0=nx0n−1\lim <em>{x \rightarrow {x_0}}\frac{f(x)-f(x</em>{0})}{x-x_{0}}=nx_{0}^{n-1}$

Et ceci est vrai quelque soit le $x_0$ choisit donc vrai pour tout x ce qui fait que pour tout x∈ $r\mathbb{r}$ f' $x)=nx^{n-1}$ .

Merci beaucoup, ça m'a bien aidé même si je ne vois pas trop comment la fraction qui reste tend vers n quand x tend vers x0.
Je trouve que ce qu'il nous a demandé est assez difficile surtout que nous avons commencé la leçon sur l'application des nombres dérivées aux fonctions, il n'y a que très peu de longtemps (pas plus de deux cours).
Merci quand même !

Avez-vous vu, avant, le cours sur les limites ?

Non le cours sur les limites n'a pas été vu, le prof nous a seulement expliqué que quand h tend vers 0 par exemple, les h partaient (pour pouvoir faire les nombres dérivées et commencer l'application des nombres dérivés aux fonctions dérivées). Mais nous n'avons pas abordé le chapitre sur les limites à proprement dit.

Il est peut-être plus facile de passer par :

$lim⁡h→0,,f(x+h),−,f(x),h\lim _{h \rightarrow 0}, \frac{,f(x+h),-,f(x),}{h}$

Je n'ai pas fait les calculs et pas vérifié si c'était plus facile avec cette limite !

A y bien réfléchir , ce n'est pas forcément la solution car en 1ère on ne sait pas développer

(x + $h)^n$ ......