Travail sur l'exponentielle

Salut.

Étant donné que tu es en TS, j'aurais pris ça pour une question de cours. Mais si tu ne l'as pas encore vu, tu peux démontrer le résultat par encadrement par exemple.
Ta phrase est un peu étrange, mais ça doit être ça. :razz:
On a affaire à un quotient $x/e^x$ ) de fonctions dérivables sur l'intervalle considéré, et le dénominateur n'est jamais nul, donc c'est réglé.

Ta dérivée est mauvaise, utilise la formule de la dérivée d'un produit f'(x) = u(x)v'(x) + u'(x)v(x) avec u(x)=x et $v(x)=e^{-x}$ .

Avec ta dérivée c'était réglé : l'exponentielle est toujours positive, donc le signe moins devant te fournit le résultat. Mais la vraie dérivée est légèrement différente. Tu va avoir un polynôme facteur de l'exponentielle. Vu que l'exponentielle est toujours positive, tout ce qui t'intéresse est le signe du polynôme, ce qui ne devrait pas être trop dur à étudier.
Oui la démonstration part du TVI
(aparté : S321, j'ai dit que l'on partait du TVI, je sais que ce n'est pas suffisant).
Je pense qui tu as trouvé.

@+

Bonsoir.

Tu ne peux pas résoudre par simple mise en facteur, c'est un peu plus en amont que se fait la preuve. On appelle ça croissance comparée (car on compare la croissance d'exponentielle à celle de x). Il y a une chose dont tu peux te souvenir, c'est que exp c'est la plus forte. Ici exp est au dénominateur donc elle écrase le tout sur 0 (le x multiplicatif il fait pâle figure devant).

Je ne pense pas que votre prof vous aurait donné à démontré ceci si vous n'aviez pas vu les limites de croissances comparées en cour, c'est moche de demander de démontrer ça en DM. Enfin si tu veux la démonstration la voici :
on pose g la fonction définie par
g:[1,+∞[→ $r\mathbb{r}$
x→ $e^x$ -x²
g est bien sûr deux fois dérivable avec pour tout x∈ $r\mathbb{r}$ :
g' $x)=e^x$ -2x
g'' $x)=e^x$ -2
or sur [1,+∞[ $e^x$ ≥ 2 ce qui prouve que
g''(x)≥0
donc que g' est croissante sur [1,+∞[ or
g'(1)=e-2≥0
ce qui fait que pour tout x∈[1,+∞[ :
g'(x)≥0
Donc g est croissante or
g(1)=e-1≥0
donc pour tout x∈[1,+∞[ :
g(x)≥0
$e^x$ -x²≥0
$exx≥x\frac{e^{x}}{x}\geq x$
ce qui permet de dire, grâce au théorème des gendarmes, que :
$lim⁡x→+∞exx=+∞\lim _{x \rightarrow {+} \infty}{\frac{e^x}{x}} ={+} \infty$

la limite dont tu as besoin étant l'inverse de celle-ci, tu as ton résultat.

Je ne suis d'accord avec toi que sur un seul point : c'est facile.
Outre le fait que ta phrase n'ai aucun sens, tu devrais éviter de parler de fonctions linéaires, tu ne sais pas ce que c'est (bien que tu en connaisses quelques unes). De plus dire que la fonction est linéaire ne suffit pas à dire qu'elle est dérivable.
Parles plutôt de polynôme pour justifier la dérivabilité.

Dans ton cas je justifierais la dérivabilité en disant x→x est dérivable sur $r\mathbb{r}$ comme fonction polynôme (ou identité si tu préfères), x→ $e^{-x}$ est dérivable comme composée des fonctions polynôme et exponentielle elles même dérivables sur $r\mathbb{r}$ à valeurs dans $r\mathbb{r}$ .

Ensuite ta dérivée est fausse et c'est assez grave en Terminale S de ne pas savoir dériver un produit. (fg)'=f'g+fg'.
Il faut que tu t'entraine à dériver.

Classique, on se trompe dans la dérivée et on arrive pas à étudier les variations.
Normalement pour cette question le tableau de variation devrait t'aider.
Ta fonction devrait être croissante depuis -∞ jusqu'à un certains point que je te laisse trouver en ce point la fonction admet un maximum qui vaut plus que 1/4, puis la fonction redécroit pour tendre vers 0 (donc elle repasse sous 1/4).
Je retire une petite indication après avoir lu le post ci-dessus. Mais comme le fait remarquer Jeet-Chris, il faut utiliser une certaine notion en plus que le TVI

Bonne chance.