Complément sur les suites

Au sein de la zone euro, certains états souhaitent diminuer la production de matières polluantes. Le développement économique accroit chaque année la production de 30%.
Le système de réduction des polluants mis en place par l'état permet une diminution équivalente à 40% des polluants émis deux ans plutôt.

On note u(n) la masse (en milliers de tonnes) de matières polluantes émises à l'année (2005+n). 300 000 tonnes de déchets polluants ont été produits en 2005 et 180 000 tonnes en 2006.

Montrer que u(o)=300 et u(1)=180 puis calculer u(2) et u(3)

par contre je n'arrive pas à poser le problème sous forme de suite!
Qui c'est qui arrivera à me faire comprendre svp?! Je suis perdu

Bonjour,

Il faut transcrire sous forme de relation les phrases :
Le développement économique accroit chaque année la production de 30%. soit ......
Le système de réduction des polluants mis en place par l'état permet une diminution équivalente à 40% des polluants émis deux ans plutôt. soit .....

accroit de 30% = 1.3 (1+(30/100)
diminution de 40%= 0.6 (1-(40/100)

Par contre je n'arrive pas à les mettre en relation pour trouver u(n)=...
avec les 300 000 tonnes de déchets en (2005+n)

Bonsoir,
Le développement économique accroit chaque année la production de 30%. soit u(n-1)x1,3
Le système de réduction des polluants mis en place par l'état permet une diminution équivalente à 40% des polluants émis deux ans plutôt. soit u(n-2)x0,6
Calcule u(2) puis u(3)

Comment je dois faire
selon votre formule si je veut u(2), je dois remplacer n par 3 pour (n-1) ou par 4 pour (n-2) mais ce n'est pas possible puisque je n'ait pas les valeurs!
J'ai pas vraiment compris en fait comment je dois faire :rolling_eyes:

Et pour :Le développement économique accroit chaque année la production de 30%. soit u(n-1)x1,3, se ne serait pas plutôt u(n+1)x1.3? Pourquoi on fait moins dans ce cas la,?

J'ai aussi un problème pour cette question:
v(n)=a*(0.8)^n+b*(0.5)^n

Déterminer les valeurs de a et b pour que : v(0)=300 et v(1)=180

J'ai transformé l'écriture v(n)=anln(0.8)+bnln(0.5)
?? est ce que je suis sur la bon chemin,q comment je dois continuer?
merci d'avance

Bonjour
u(n) = u(n-1)x1,3 + u(n-2)x0,6
Calcule u(2) puis u(3)

Pour la résolution de :
v(n)=a*(0.8)^n+b*(0.5)^n
Exprime v(0) et v(1) en fonction de a et b
puis tu utilises v(0)=300 et v(1)=180
Tu obtiens un système

u(n) = u(n-1)x1,3 + u(n-2)x0,6

u(2) = u(2-1)x1.3 + u(2-2)x0.6
u(2)= 1.3u ( je remplace u par quoi?)

u(3)=u(3-1)x1.3 + u(3-2)x0.6
u(3)= 2.6u+0.6u ?? Je suis pas sur que se soit sa..

C'est pas ça ??
u(n) est le terme de rang n, u(0) le terme de rang 0 ou premier terme ( ce n'est pas ux0 = 0)

u(n) = u(n-1)x1,3 + u(n-2)x0,6

u(2) = u(2-1)x1.3 + u(2-2)x0.6 soit u(1)x1,3 + u(0)x0,6
Tu remplaces u(1) et u(0) par les valeurs indiquées dans l'énoncé
u(0) = 300 et u(1) = 180

Idem pour u(3)

OOh c'est vrai je suis bête, j'ai vraiment du mal avec ce chapitre!!
Merci beaucoup :rolling_eyes:

u(2)= 180x1.3+300x0.6
u(2)= 414

u(3)= 414x1.3+180x0.6
u(3)=646.2

Si je résume u(0)=300, u(1)=180, u(2)=414, u(3)=646.2
Est ce que c'est normal que la production de polluants ne continue pas de diminuer après u(1) ?

Bonne remarque.

C'est une diminution de 40 %
soit
u(n) = u(n-1)x1,3 - u(n-2)x0,4

J'ai le même exo à faire^^
Donc j'ai réussi à résoudre le système et je trouve a=100 et b=200.
Après il faut montrer que la suite V vérifie la relation Un+2 = 1.3Un-1 - 0.4Un. Et là je vois aucun rapport Oo

Bonjour,

Vérifie l'écriture de ta relation. C'est u(n-1) ou u(n+1) ?

Ah oui pardon c'est Un+1 ^_^

Donc cela correspond à l'équation que j'ai noté
u(n) = u(n-1)x1,3 - u(n-2)x0,4
ou
u(n+2) = u(n+1)×1,3 - u(n)×0,4

Oui c'est ça

Et après avoir simplifiée V, j'ai Vn = 100 × 0.8^n + 200 × 0.5^n

Et d'après la question suivante, Un = Vn pour tout n de $mathbb{N}$ . Mais il demandent de le montrer dans cette question mais je vois pas du tout le rapport...

Peux tu écrire l'énoncé ?

Je l'ai déjà faite la 1b, j'en suis au 2b C'est le rapport entre U(n+2) et V(n) que je vois pas =/

Compare les expression de V(n+2), V(n+1) et V(n)

Ah oui, en fait V(n) = U(n) sauf que U(n) est récurente et pas V(n) non ?
Et je peux le montrer en calculant les 1ers termes ou ça suffit pas ?

Tu dois montrer que la suite Vn vérifie la relation.

Snitch : merci de tenir compte de ce que je t'ai dit par message privé. Pas de scan dans le forum.

Noemi merci beaucoup pour ton aide Je cherche ça, je reviens tout à l'heure ^^

Thierry, excuse-moi mais j'ai pas reçu de mp =S

Au sein de la zone euro, certains états souhaitent diminuer la production de matières polluantes. Le développement économique accroit chaque année la production de 30%.
Le système de réduction des polluants mis en place par l'état permet une diminution équivalente à 40% des polluants émis deux ans plutôt.

On note u(n) la masse (en milliers de tonnes) de matières polluantes émises à l'année (2005+n). 300 000 tonnes de déchets polluants ont été produits en 2005 et 180 000 tonnes en 2006.

a) Montrer que u(o)=300 et u(1)=180 puis calculer u(2) et u(3)
b) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n :
U(n+2)= 1.3U(n+1) - 0.4U(n)

2.V(n)=a×(0.8)^n+b×(0.5)^n
a)Déterminer les valeurs de a et b pour que : v(0)=300 et v(1)=180
b) Monter que la suite V vérifie la relation du 1.b)

On admet que pour tout n de $mathbb{N}$ , U(n)= V(n)
a) Etudier la limite de la suite U. Inerprèter ce résultat.
b) A l'aide de la claculatrice, déterminer au bout de combien d'années la masse polluante produite sera inférieure à 50 tonnes.

Donc jusqu'au 2.a) c'est bon

Au 2.b) je me suis acharnée dessus pendant 1h30 hier soir, rien à faire je comprend pas comment on fait quand on a des U(n-2), on l'a jamais fait avant en cours...

Le 3.a) je pensais utiliser V(n) pour calculer la limite vu qu'il n'y a que des (n) et pas de (n-1) et (n-2). Donc je fais la limite vers +∞ de
V(n) = 100(0.8)^n + 200(0.5)^n. Et ça me donne 0. Donc pour l'interprétation, je dirrais que la production de matières polluantes diminue jusqu'à disparaitre presque totalement.

Au 3.b) je trouve 5 ans, mais les chiffres sont pas les mêmes que ceux que je trouve au 1.a)...

Salut snitch,

Pour la 2)b), on te demande de vérifier que $V_n$ ) vérifie la relation de récurrence : $U_{n+2}$ =1. $3U_{n+1}$ -0. $4U_n$
En fait ce que l'on te demande de montrer c'est que :
$V_{n+2}$ =1. $3V_{n+1}$ -0. $4V_n$
Il te suffit alors d'écrire $V_n$ , $V_{n+1}$ et de calculer 1. $3V_{n+1}$ -0. $4V_n$

Pour le 3)a), c'est bon.
Pour le 3)b), attention $U_n$ ) s'exprime en milliers de tonnes !

Ah merci je voyais pas comment on pouvait faire ça =D
Ca me fait :
V(n)= 100×0.8^n + 200×0.5^n
V(n+1)= 100×0.8^n+1 + 200×0.5^n+1
V(n+2)= 100×0.8^n+2 + 200×0.5^n+2

1.3V(n+1) - 0.4V(n)
= 1.3(100×0.8^n+1 +200×0.5^n+1) - 0.4(100×0.8^n + 200×0.5^n)
= 130×0.8^n+1 + 260×05^n+1 - 40×0.8^n - 80×0.5^n
= ...
Là je bloque =/ On pourrait peut-être utiliser a^m × a^n = a^m+n mais le moins au milieu me gène, et je sais pas comment simplifier.

Et finalement ma 3.b) était bonne, c'est à la 1.a) que je m'étais trompée^^

Tu pourrais mettre 0. $8^n$ en facteur pour deux des termes et 0. $5^n$ en facteur pour les deux autres... Et n'oublie pas ce que tu veux montrer !

Pour la 3)b) je pense que ta réponse est fausse... Regarde ma remarque !

Vn+2=1.3Vn+1-0.4Vn

1.3V(n+1) - 0.4V(n)
= 1.3(100×0.8^n+1 +200×0.5^n+1) - 0.4(100×0.8^n + 200×0.5^n)
= 130×0.8^n+1 + 260×05^n+1 - 40×0.8**^n** - 80×0.5**^n**
= 0.8^n × (130^? -40) + 0.5^n × (260^? - 80)

Il me manque des puissances n+1 quelque part, on eut pas le laisser comme ça... Et il faut arriver à V(n+2) = 100(0.8^n) + 200(0.5^n+2). Le problème c'est que 130-40≠100 et 260-80≠200.

Pour la 1b tu as raison, c'est 35 ans (ou 36, je verrais ça en rédigant avec l'année). Mais je m'étais bien trompée à la 1ère aussi^^

C'est gentil de m'aider, j'ai jamais aimé et compris les suites >_> Là je commençais tout juste à comprendre les exos qu'on fait en cours, mais pour le coup je me rend compte qu'ils sont simples par rapport à celui-là.

Alors déjà c'est $V_{n+2}$ =100(0. $8^{n+2}$ ) + 200(0. $5^{n+2}$ ) auquel il faut arriver !

Pour la factorisation, 0. $8^{n+1}$ =0.8*0. $8^n$ ... ou si tu veux tu peux directement factoriser par 0. $8^{n+2}$ , en utilisant le même type de remarque... (et idem pour 0.5 bien sûr...)

J'ai mal recopié dsl =S

Donc je reprend

1.3V(n+1) - 0.4V(n)
= 1.3(100×0.8^n+1 +200×0.5^n+1) - 0.4(100×0.8^n + 200×0.5^n)
= 130×0.8^n+1 + 260×05^n+1 - 40×0.8^n - 80×0.5^n
= 0.8^n × (0.8 + 130 -40) + 0.5^n × (0.5 + 260 - 80)

Mais ça me semble bizare...

Bonsoir

130×0.8^n+1 + 260×05^n+1 - 40×0.8^n - 80×0.5^n
Mettre 0,8^(n+2) et 0,5^(n+2) en facteur

1.3V(n+1) - 0.4V(n)
= 1.3(100×0.8^n+1 +200×0.5^n+1) - 0.4(100×0.8^n + 200×0.5^n)
= 130×0.8^n+1 + 260×05^n+1 - 40×0.8^n - 80×0.5^n
= 0. $8^{n+2}$ (0. $8^{-1}$ +130 $^{-2}$ $40^{-2}$ ) + 0. $5^{n+2}$ (0. $5^{-1}$ + $260^{-2}$ - $80^{-2}$ )

Pas sûre du tout pour les puissances...

130×0.8^n+1 + 260×05^n+1 - 40×0.8^n - 80×0.5^n
= 0,8^(n+2)[130/0,8 - 40/0,8²) + 0,5^(n+2)[260/0,5 -80/0,5²]
= ....

1.3V(n+1) - 0.4V(n)
= 1.3(100×0.8^n+1 +200×0.5^n+1) - 0.4(100×0.8^n + 200×0.5^n)
= 130×0.8^n+1 + 260×05^n+1 - 40×0.8^n - 80×0.5^n
= 0,8^(n+2)[130/0,8 - 40/0,8²) + 0,5^(n+2)[260/0,5 -80/0,5²]
= 0. $8^{n+2}$ (130÷0.8 - 40÷0.8²) + 0. $5^{n+2}$ (130÷0.5 - 80÷0.5²)
= 0. $8^{n+2}$ (104÷0.64 - 40÷0.64) + 0. $5^{n+2}$ (130÷0.25 - 80÷0.25)

= 0. $8^{n+2}$ ×100 + 0. $5^{n+2}$ × 200
= $V_{n+2}$

Merci beaucoup à vous deux pour votre patience, j'aurrais jamais trouvé toute seule