Devoir-maison sur les probabilités



  • Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la première partie.
    On admet que, si elle gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est 0,6, et si elle perd une partie, la probabilité pour qu'elle perde la partie suivante est 0,7.
    On note pour n entier naturel non nul :
    GnG_n l'événement" Juliette gagne la n-ième partie "
    PnP_n l'événement " J. perd la n-ième partie".

    PARTIE A :

    1. Déterminer les probabilités P(G1), PG1P_{G1}(G2), et PP1P_{P1}(G2)
    2. Calculer P(P2)

    PARTIE B :
    On pose pour nentier naturel non nul,
    xnx_n=P(Gn) et yny_n=P(Pn)

    1. Déterminer les probabilités :
      PPnP_{Pn}( Pn+1)et PGnP_{Gn}(Gn+1)
    2. Montrer que :
      xn+1x_{n+1}=0.6xn6x_n+0.3yn3y_n
      yn+1y_{n+1}=0.4xn4x_n+0.7yn7y_n
    3. Pour n entier naturel non nul, on pose :
      vv_n=x=x_n+yn+y_n et ww_n=4x=4x_n3yn-3y_n
      a) Montrer que la suite (vn(v_n) est constante de terme géneral égal à 1.
      b) Montrer que la suite (wn(w_n) est géométrique et éxprimer wnw_n en fonction de n.
      4)a)Déduire du 3), l'éxpression de xnx_n en fonction de n.
      b) Montrer que la suite (xn(x_n) converge et déterminer sa limite


  • La partie A donnerai ça :

    1. P(G1)=1/2
      PG1P_{G1}(G2)=0.6
      PP1P_{P1}(G2)=0.3
      2)P(P2)=P(G1)×P(G1∩P2)
      =1/2×0.4
      =0.2

    Quelqu'un pourrait me dire si c'est juste ?
    Et après, la deuxième parties je commence un peu à bloquer :rolling_eyes:
    Merci de me donner un petit coup de main ^^



  • Bonjour,

    Tout est juste sauf P(P2)

    Avec le théorème des probabilités totales on a :

    P(P2) = P(G1 ∩ P2) + P(P1 ∩ P2)

    B ) pour PP{Pn}(P</em>n+1(P</em>{n+1}) utiliser la phrase : si elle perd une partie, la probabilité pour qu'elle perde la partie suivante est 0,7

    Pour PP{Gn}(G</em>n+1(G</em>{n+1}) utiliser la phrase : si elle gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est 0,6

    Et faire un arbre :

    http://img6.imageshack.us/img6/35/probsuite.jpg



  • Merci 😄

    J'ai une petite question :
    Est-ce que P(G1∩P2) est la même chose que PG1P_{G1}(P2) ??



  • NON , ce n'est pas la même chose

    PAP_A(B) = P(A∩B) / P(A) donc P(A∩B) = PAP_A(B) * P(A)

    PBP_B(A) = P(A∩B) / P(B) donc P(A∩B) = PBP_B(A) * P(B)

    Cela dépend de l'énoncé et des probabilités que tu peux en déduire.

    Il faut que tu relises ton cours sur les probabilités conditionnelles !



  • Partie A :
    2)P(P2)=0.55

    Partie B :
    1)PPn1)P_{Pn}( Pn+1)=0.7
    PGnP_{Gn}(Gn+1)=0.6
    3)b)J'arrive à montrer que la suite est géométrique de raison 0.3, mais je trouve pas le premier terme : Wn=Wo×0.3n3^n
    ??????



  • Et avec ceci :

    http://img205.imageshack.us/img205/8365/pppm.jpg

    Tu trouves ou pas ?



  • Je cherche mais je nvois pas !!
    Ca a peut -étre l'air tout bête !
    Heu..
    4Xn-3Yn=4*(1/2)-3*(1/2)=0.5 ?
    Ca doit pas étre sa !



  • Avec le théorème des probabilités totales , on a :

    xn+1x_{n+1} = P(Gn+1P(G_{n+1}) = P(GnP(G_nGn+1G_{n+1}) + P(PnP(P_nGn+1)G_{n+1)})

    yn+1y_{n+1} = P(Pn+1P(P_{n+1}) = P(GnP(G_nPn+1P_{n+1}) + P(PnP(P_nPn+1)P_{n+1)})

    A toi mintenant.



  • Wn=0.5×0.3n13^{n-1}
    Et ensuite pour la 4) 4xn-3yn=0.5 × 0.3n13^{n-1}
    4xn=0.5 ×0.3n13^{n-1}+3yn
    xn=(0.5 ×0.3n13^{n-1}+3yn)/4
    Et on montre qu'elle converge en montrant qu'elle est soit croissante et majorée, soit décroissante et minorée ??



  • Tu le prouves comment que WnW_n = 0.5 * 0.3n13^{n-1} ?

    Et on montre qu'elle [c'est qui elle ? quelle suite : (xn(x_n) ou (yn(y_n) ou (wn(w_n) ] converge en montrant qu'elle [même question sur qui est elle? ] est soit croissante et majorée, soit décroissante et minorée ??



  • 3b)
    Wn+1/Wn=(4xn+1-3yn+1)/(4xn-3yn)
    =(1.2xn-0.9yn)/(4xn-3yn)
    =0.3(4xn-3yn)/(4xn-3yn)
    =0.3
    Donc Wn suite géométrique de raison 0.3 donc Wn=Wo×0.3n
    Il n'y a pas de terme Wo car il n'y a pas de termes xo et yo
    Mais on a x1=P(G1)=0.5 et y1=P(P1)=0.5 donc
    W1=40.5-30.5=0.5
    et Wn=0.5*0.3^(n-1)

    4)Pour montrer que xn converge on montre que xn est soit croissante et majorée, soit décroissante et minorée ??

    C'est faux ?



  • Cela a l'air correct

    Pour trouver xnx_n en fonction de n , n'oublie pas que

    xnx_n + yny_n = 1 donc yny_n = .....

    et wnw_n = 4xn4x_n - 3yn3y_n = 4xn4x_n - 3( .....) =

    Donne nous l'expression que tu trouves pour xnx_n

    En fonction de ton résultat, on avisera sur la méthode à utiliser pour montrer sa convergence.



  • Il s'agit de resoudre un système :
    yn=1-xn
    wn=4xn-3yn

    yn=1-xn
    wn=4xn-3(1-xn)

    yn=1-xn
    wn=7xn-3

    Et ensuite xn=(wn+3)/7



  • Remplace wnw_n par ce que tu as trouvé.

    Et utiliser le fait que si -1 < q < 1

    , alors limite de qnq^n quand n → +∞ est égale à quoi ?



  • xn=3/7 +0.5/7 * 0.3n13^{n-1}
    q=0.3 et si -1 < q < 1 alors lim 0.3n13^{n-1} quand n→+∞ =0
    donc lim xn quand n→+∞= 3/7


 

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