intersection d'une droite et d'un cercle dans un repere orthonormal



  • slt
    voila j'ai un dm pour samedi et j'ai eu beau demander a mon prof je ne comprend pas :frowning2:
    j'ai un cercle C de centre 0 et de rayon 2 dans un repere orthonormal et il a pour equation :
    x^2 + y^2 - 4 = 0
    deja qu'est ce que l'equation d'un cercle ?? 😁
    ensuite j'ai une droite dont la fonction est :
    1x - 4
    et un point A de cette droite de coordonne (4;0)
    Je veux prouverque pour trouver les points d'intersections du cercle et de la droite il faut que je resoude l'equation :
    2x^2 -8x+12=0
    Je sais le faire avec deux fonctions, il suffit de faire une egalite, par exemple :
    1x - 4 = 6x + 3
    Mais avec une equation je n'en est occune idée :frowning2:
    Je me suis dis que la formule general d'une equation est
    y= ax + b
    donc comme jai
    x^2 + y^2 - 4 = 0
    y^2 =4 - x^2
    y= sqrtsqrt4 - x^2
    y=2-x
    mais un cercle n'a pas de fonction ??!! donc pense pas que c'est possible
    si quelqu'un pouvais m'xpliquer 😄
    A++++
    newoobs



  • ouh lala!!!!...
    depuis quand tu peux écrire que:
    y = sqrtsqrt(4 - x²) implique que y = 2 - x ???????????? 😕 😲
    Tu ne peux pas faire cela:c'est totalement faux!!
    tu ne peux simplifier une racine carré que si elle est de la forme y = sqrtsqrt(...²) or ici tu as 4 - x² qui est égal à 2² - x², ce qui peut aussi s'écrire (2 - x)(2 + x) !!!Mais pas sous la forme (2 - x)²!!!Est-ce que tu comprends?...si tu n'ais pas convaincu tu peux toujours développer (2 - x)² et voir si tu trouves 4 - x² (en tout cas c'est ce que TU as marqué au-dessus!)

    Néanmoins pour ton pb:
    l'équation de ton cercle est x² + y² - 4 = 0
    et celle de ta droite est y = x - 4 (ou encore x - y - 4 =0)
    et tu cherches l'intersection de la droite avec le cercle. Déjà tu peux envisager plusieurs cas possibles:

    • la droite ne coupe pas le cercle:l'ensemble des solutions est l'ensemble vide
    • la droite est tangente au cercle:il n'y a donc qu'un seul point d'intersection
    • la droite traverse le cercle: il existe donc 2 point qui appartiennet à la droite ET au cercle!

    Tu veux donc résoudre:
    x² + y² - 4 = x - y - 4
    ...tu mets tout d'un côté...cette méthode ne te dit rien?
    Essayes de faire comme cela pour l'instant et donnes moi ce que tu trouves!
    Biz
    Nel'



    1. Un cercle est un ensemble de points (ici l'ensemble des points à distance 2 de O). Puisqu'on s'est donné un repère, on peut caractériser chaque point du plan par ses coordonnées (x,y). Dire que (E) est une équation du cercle C revient alors à dire que M, de coordonnées (x,y), est un point du cercle si et seulement si le couple (x,y) est une solution de (E). En d'autres termes, si x2x^2 + y2y^2 =4 alors le point de coordonnées (x,y) est sur le cercle ; et si le point de coordonnées (x,y) est sur le cercle alors x2x^2 + y2y^2 =4.

    2. L'équation d'un cercle, c'est donc le même concept que l'équation d'une droite. Ta droite a pour équation y=x-4, ou encore x-y=4. Le cercle, on l'a vu, a pour équation x^2+y^2 =4. Trouver les points d'intersection du cercle et de la droite, c'est trouver l'ensemble des points du plan qui appartiennent à la fois au cercle et à la droite. Mais un point appartient au cercle si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de ce cercle, et il appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite. Il appartiendra donc au deux si et seulement si ses coordonnées sont solution du système d'équations
      x^2+y^2 =4 ET x-y=4,
      ce qui est équivalent à x^2+y^2 =4 ET x=y+4.
      Le plus simple, à mon avis, est de raisonner par implication à partir de maintenant ; c'est-à-dire : si x^2+y^2 =4 et x=y+4 alors (y+4)^2+y^2 =4. Tu te retrouves avec une équation que tu sais résoudre (second degré). Elle admet au plus deux solutions. Il ne reste plus qu'à vérifier que les (au plus) deux couples (x,y) ainsi identifiés sont effectivement solutions des deux équtions de départ.



  • slt
    merci a ceux qui m'on repondu si rapidement
    Donc j'ai esseye de suivre vos conseil et j'avour que j'ai encore beaucoup de mal
    a Nelly
    J'ai pas compris ou je me suis trompe
    y^2 = sqrtsqrt4 - x²)
    (4-x^2 )=2^2 -x^2 😕
    sinon
    j'esseye de faire ce que tu dis mais je bloque
    x² + y² - 4 = x - y - 4
    x² + y² - 4 - x + y + 4 =0
    x² + y² - x + y = 0
    mais je me retrouve avec 2 inconnu plus des puissances et la je ne vois pas comment resoudre cette equation 😕
    Et pour stephane j'avoue que j'ai pas compris grand chose:frowning2:
    tu veux dire qu' il faut que je remplace x et y de l'equation
    x^2 + y^2 par les coordonne d'un d'interseption, j'aurai =4 ??
    desole mais j'ai beaucoup de plus mal a comprendre a l'ecrit qu'a l'orale
    A++++
    newoobs



  • tu mets y = sqrtsqrt(4 - x²) et tu marques ensuite que y = 2 - x ...c'est faux! c'est ça que tu ne comprend pas?ce n'est pas du tout égal!
    Quand à l'autre méthode...va oublies là je crois quie tu n'as pas encore dû l'apprendre(d'ailleurs tu n'as pas trouvé d'avatar qui te correspond...ça nous aide à nous pour savoir ton niveau et te donner des conseils appropriés!)
    Nel'



  • slt
    1)desole je voulais ecrire
    y^2 = sqrtsqrt(4 - x^2 )
    y = 2 - x

    2)(y+4)^2 +y^2 =4
    donc je fais

    y^2 + 2y*4 + 4^2 + y^2 = 4
    y^2 + 8y + 16 + y^2 = 4
    2y^2 + 8y + 16 = 4
    2y^2 + 8y + 12 = 0

    mais je dois avoir des x et non des y, ou me suis-je trompé ? 😕

    et une fois que j'ai ce calcule, que dois-je faire pour trouver les points d'intersections ??
    PS: je ne demande pas les reponses mais juste une explication car je suis un peu perdu meme si grace a vous j'ai pus comprendre les calculs :rolling_eyes:
    merci d'avance

    A++++
    newoobs


 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.