Comportement Asymptotique (1)

Bonjour
Voila. Nous avons un devoir maison à faire pendant les vacances mais je ne comprends pas tout :frowning2: . Pourriez vous m'éclairer ? Merci d'avance :rolling_eyes:

On définit la fonction f sur ]0;+∞[ par :
f(x)=x+3(sin4x)/x

1)Montrer que pour tout x>0, on a:

0≤ |f(x)-x|≤3/x

J'ai d'abord calculé f(x)-x = (x+3(sin4x)/x)-x = (3sin4x)/x

On sait que |f(x)-x| >0 comme x >0

Donc on a bien 0≤ |f(x)-x|<3/x[/color]

[color=indigo]2)Soit ε>0 . Justifier qu'il existe un réel A strictement positif tel que :
si x ∈[A ; +∞[ , alors 0≤|f(x)-x|≤ ε .

Donc là je bloque . Je ne comprends pas la question .

En déduire que lim |f(x)-x| = 0 . Conclure
x→+∞

Et comme je n'ai pas fait le 2) ... de plus je ne comprends pas les limites

Merci de me répondre au plus vite

Bonjour ,
Que veux-tu dire par "Or on sait que -1 " ?
Pour la 1) , tu raisonne en pertant de ce qu'il faut démontrer .
Tu dois raisonner dans l'autre sens .

Bonjour ,
Que veux-tu dire par "Or on sait que -1 " ?
Pour la 1) , tu raisonne en partant de ce qu'il faut démontrer .
Tu dois raisonner dans l'autre sens .

J'ai oublié des chiffres
Or on sait que -1≤sin≤1
Oui mais bon, c'est juste sinon ?
Et tu ne sais pas pour la 2 ?

Bonjour,

Je n'arrive pas à lire ce que tu as écrit en rose !!!! Merci de faire un effort pour mes pauvres vieux yeux ! (tu peux modifier ton message en cliquant sur le bouton "Modifier" qui est en dessous )

Melle-Pomme
J'ai oublié des chiffres
Or on sait que -1≤sin≤1
Oui mais bon, c'est juste sinon ?
Et tu ne sais pas pour la 2 ?

As-tu déjà remis la 1) "à l'endroit" ?

Non mais je peux le faire

|f(x)-x| = (3sin4x)/x = 3/x(sin4x)
Or on sait que -1≤sin≤1
D'où 3/x(sin4x) ≤3/x
Car multiplier par un nombre >1 revient à "réduire" le nombre .
Ca va ça ?

C'est confus , mais le raisonnement global semble corrrect .
Toutefois , il faut être méticuleux quand on manipule les inégalités :
a) les parenthèses sont mal placées : (3/x)*(sin4x) et pas 3/x(sin4x)

b) les barres de valeurs absolues sont
obligatoirescar sin4x n'a pas toujours le même signe
c) c'est "multiplier par un nombre
plus petitque 1 " qui "réduit" le résultat .

Hum oui j'ai bien compris tout ça, mais pourrais tu m'aider pour le 2 et le 3 s'il te plaît ? :rolling_eyes:

Pour le 2)
Choisis A = 3/ε , et écris :
x appartient à [A , +∞[ , donc x≥A , donc x≥ 3/ε , donc ...

Mais on a le droit de prendre A au "hasard" ?

Non : je n'ai pas choisi A au hasard : j'ai raisonné ainsi :
Si on veut que |f(x)-x| ≤ε , il faut que ...... , et on trouve que l'on peut prendre
A = 3/ε ( ou n'importe quel nombre plus grand ) .
Ensuite , il faut rédiger "à l'endroit" :
si x≥A , alors ...

Pfff jc'omprends rien :frowning2:

On a démontré :
pour tout x positif : 0 ≤ |f(x) - x| ≤ 3/x

Si x ≥ 3/ε , alors 3/x est comment ?

bah x>ε non ?

Mais si c'est ça, je le sais que par ce que tu viens de dire, je ne comprends toujours pas ...

Non , ce n'est pas cela ; je n'ai écrit nulle part " x > ε " .
Si x ≥ 3/ε , alors x.ε ≥ 3 ( ε est positif , donc on peut multiplier des deux côtés par ε sans changer le sens de l'inégalité : tu as appris cela en troisième )
donc ε ≥ 3/x ( même raison : x est positif )
ou en le lisant de droite à gauche : 3/x ≤ ε
Mais 0 ≤ |f(x) - x| ≤ 3/x
donc ...

J'ai scindé la discussion car nouvel exercice entraine nouvelle discussion !

Ou plus simplement : Une discussion = un exercice !

Est-il possible que Mlle Pomme clique sur le sujet où il y a (2) ?
Merci

Ah ok ... mais je n'ai pas besoin de changer de page là ?
Car depuis tout à l'heure, je réactualise la page moi ...

Si .
S'il te plait : sors et clique sur "comportement asymptotique (2) "