Comportement Asymptotique (1)



  • Bonjour 😄
    Voila. Nous avons un devoir maison à faire pendant les vacances mais je ne comprends pas tout :frowning2: . Pourriez vous m'éclairer ? Merci d'avance :rolling_eyes:

    On définit la fonction f sur ]0;+∞[ par :
    f(x)=x+3(sin4x)/x

    1)Montrer que pour tout x>0, on a:

    0≤ |f(x)-x|≤3/x

    J'ai d'abord calculé f(x)-x = (x+3(sin4x)/x)-x = (3sin4x)/x

    On sait que |f(x)-x| >0 comme x >0

    Et il faut que |(3sin4x)/x|≤ 3/x
    D'où |(3/x)sin4x| ≤3/x
    D'où |sin4x|≤ 1
    Or on sait que -1<sin<1

    Donc on a bien 0≤ |f(x)-x|<3/x[/color]

    [color=indigo]2)Soit ε>0 . Justifier qu'il existe un réel A strictement positif tel que :
    si x ∈[A ; +∞[ , alors 0≤|f(x)-x|≤ ε .

    Donc là je bloque . Je ne comprends pas la question .

    1. En déduire que lim |f(x)-x| = 0 . Conclure
      x→+∞

    Et comme je n'ai pas fait le 2) ... de plus je ne comprends pas les limites 😕

    Merci de me répondre au plus vite 😉



  • Bonjour ,
    Que veux-tu dire par "Or on sait que -1 " ?
    Pour la 1) , tu raisonne en pertant de ce qu'il faut démontrer .
    Tu dois raisonner dans l'autre sens .



  • Bonjour ,
    Que veux-tu dire par "Or on sait que -1 " ?
    Pour la 1) , tu raisonne en partant de ce qu'il faut démontrer .
    Tu dois raisonner dans l'autre sens .



  • J'ai oublié des chiffres 😊
    Or on sait que -1≤sin≤1
    Oui mais bon, c'est juste sinon ?
    Et tu ne sais pas pour la 2 ? 😕



  • Bonjour,

    Je n'arrive pas à lire ce que tu as écrit en rose !!!! Merci de faire un effort pour mes pauvres vieux yeux ! (tu peux modifier ton message en cliquant sur le bouton "Modifier" qui est en dessous )



  • Melle-Pomme
    J'ai oublié des chiffres 😊
    Or on sait que -1≤sin≤1
    Oui mais bon, c'est juste sinon ?
    Et tu ne sais pas pour la 2 ? 😕

    As-tu déjà remis la 1) "à l'endroit" ?



  • Non mais je peux le faire 🆒

    |f(x)-x| = (3sin4x)/x = 3/x(sin4x)
    Or on sait que -1≤sin≤1
    D'où 3/x(sin4x) ≤3/x
    Car multiplier par un nombre >1 revient à "réduire" le nombre .
    Ca va ça ?



  • C'est confus , mais le raisonnement global semble corrrect .
    Toutefois , il faut être méticuleux quand on manipule les inégalités :
    a) les parenthèses sont mal placées : (3/x)*(sin4x) et pas 3/x(sin4x)

    b) les barres de valeurs absolues sont
    obligatoirescar sin4x n'a pas toujours le même signe
    c) c'est "multiplier par un nombre
    plus petitque 1 " qui "réduit" le résultat .



  • Hum oui j'ai bien compris tout ça, mais pourrais tu m'aider pour le 2 et le 3 s'il te plaît ? :rolling_eyes:



  • Pour le 2)
    Choisis A = 3/ε , et écris :
    x appartient à [A , +∞[ , donc x≥A , donc x≥ 3/ε , donc ...



  • Mais on a le droit de prendre A au "hasard" ?



  • Non : je n'ai pas choisi A au hasard : j'ai raisonné ainsi :
    Si on veut que |f(x)-x| ≤ε , il faut que ...... , et on trouve que l'on peut prendre
    A = 3/ε ( ou n'importe quel nombre plus grand ) .
    Ensuite , il faut rédiger "à l'endroit" :
    si x≥A , alors ...



  • Pfff jc'omprends rien :frowning2:



  • On a démontré :
    pour tout x positif : 0 ≤ |f(x) - x| ≤ 3/x

    Si x ≥ 3/ε , alors 3/x est comment ?



  • bah x>ε non ?

    Mais si c'est ça, je le sais que par ce que tu viens de dire, je ne comprends toujours pas ...



  • Non , ce n'est pas cela ; je n'ai écrit nulle part " x > ε " .
    Si x ≥ 3/ε , alors x.ε ≥ 3 ( ε est positif , donc on peut multiplier des deux côtés par ε sans changer le sens de l'inégalité : tu as appris cela en troisième )
    donc ε ≥ 3/x ( même raison : x est positif )
    ou en le lisant de droite à gauche : 3/x ≤ ε
    Mais 0 ≤ |f(x) - x| ≤ 3/x
    donc ...



  • J'ai scindé la discussion car nouvel exercice entraine nouvelle discussion !

    Ou plus simplement : Une discussion = un exercice !



  • Est-il possible que Mlle Pomme clique sur le sujet où il y a (2) ?
    Merci



  • Ah ok ... mais je n'ai pas besoin de changer de page là ?
    Car depuis tout à l'heure, je réactualise la page moi ...



  • Si .
    S'il te plait : sors et clique sur "comportement asymptotique (2) "


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