Fonctions logarithmes

Bonsoir à tous !
Voilà j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre...je vous remercie d'avance non pas pour me donner la réponse ( qui est sans interêt), mais à m'aider à me mener jusqu'à elle.

f(x) =1 /(x-1/2) + ln (x-1) - ln x Df= ]1;+∞[

J'ai déterminé la fonction dérivée : f'(x) = -1 /(x-1/2)² + 1 /(x-1) - 1/x.
La question est de montrer que f(x) est croissante sur Df.

J'ai donc simplifié la dérivée, et j'en suis venue à ceci :
f'(x)= (1/4) / (x^4 - 2x^3 + 5x²/4 - x/4)

A partir de là, montrer que f(x) est croissante <=> f'(x) >0 sur ]1; +∞[
<=> x^4 - 2x^3 + 5x²/4 - x/4 >0

Or, je n'arrive pas à prouver ceci. Pourriez-vous m'aider ?

f(x) =1 /(x-1/2) + ln (x-1) - ln x
Dans la suite de l'exercice, il nous faut prouver que la limite de f en +∞ est égale à 0.

lim 1 /(x-1/2) = 0 car lim 1/x = 0
x->+∞ x->++∞

Je n'arrive pas à prouver le reste.

Je vous remercie.

Bonjour,

dans f '(x) garde au dénominateur x (x - 0,5)² (x-1)

x > 1 > 0 et x - 1 > 0 et (x - 0,5)² > 0

Donc dénominateur > 0 et numérateur > 0 donc ......

Bonsoir,
Merci pour votre réponse rapide !

Effectivement, il est plus simple de passer par là, je n'avais pas remarqué...merci.

Finalement, je m'en tire plutôt pas mal avec cet exercice, par contre la suite est beaucoup moins évidente...

Voici :

Pour tout n≥1, Un= ( n! e^n) / ( √n ) n^n)
Pour tout n≥1, Vn = ln Un

Démontrer que Vn- Vn-1 = (n - 0,5) f(n)

Avec f(n), la fonction citée précédement.

Il nous faut ensuite étudier le sens de variation de V, celui de U. Et démontrer que la suite U est convergente.

Merci d'avance.