spécialité : PGCD

bonjour,

j'ai un exercice de spécialité à faire et je suis bloquée sur l'une des questions :
montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls a, b et c, l'égalité suivante est vraie :

PGCD(a;b)=PGCD(bc-a;b)

Nous avons marquée cette propriété dans le cours mais nous ne l'avons pas démontré et je ne sais pas du tout comment faire.

merci d'avance pour votre aide

Bonjour , je suppose que l'égalité doit être démontrée pour tout c ?
en 2 temps :

directe : si d divise a et b , il divise bc pour tout c ,
donc d divise a , bc , et b
Essaie de continuer

l'égalité doit effectivement être démontrée pour tout c.

Si je suis le résonnement : d divise toute combinaison linéaire de a, b et c.
donc d divise bc-a

donc PGCD(bc-a;b)=d=PGCD(a;b)

c'est ça?

La conclusion me paraît hâtive :
bc n'est pas une combinaison "linéaire " des lettres . Néanmoins , si d divise a et b , il divise bc et a , donc bc -a , et aussi b , donc c'est un diviseur de bc-a et b .
Réciproquement , le raisonnement est analogue et même plus simple : il suffit de choisir c = 1.
Mais pour passer d'un diviseur d quelconque au PGCD , il faut préciser que les propriétés établies pour d le sont pour n'importe quel diviseur commun d , donc aussi pour le PGCD .

ah d'accord !

merci beaucoup pour votre aide si rappide et précise