Calculs d'angles et tangentes demis cercles

[06h54]

(Re) Bonjour

J'ai encore un problème à cause d'un exercice de mon DM
C'est un problème avec trois demi-cercles, voici l'énoncé :

On note S(x) l'aire de la partie grisée, limitée par les trois demi-cercles de diamètres respectifs [AB], [AM] et [MB].
On suppose AB =10 et AM = x ( 0 ≤ x ≤ 10 )

1. Calcul de S(x) : Démontrer que S(x) = (π / 4)x (10-x)
   Pour cette question, pense qu'il faut utiliser la formule d'aire π R² avec les différents demi cercles mais je ne sais pas comment faire :frowning2:

2. On se propose de trouver le maximum de S sur l'intervalle [0 ; 10]

Première méthode (algébrique):
Vérifier que S(x) = π / 4 [25 - (x-5)²]

Ensuite, il nous propose une deuxième méthode, cette foi ci géométrique :
La perpendiculaire à (AB) en M coupe le demi- cercle de diamètre [AB] en H.

a) Démontrer que l'angle MAH = l'angle MHB
Ici, il suffirait de montrer que le triangle AMH est isocèle rectangle

b) En utilisant les tangeantes de ces angles, établir que: π / 4 M H² = S(x)

c) Résoudre alors le problème posé .

Je vais essayer d'insérer la figure . Merci d'avance pour votre aide

[Shloub]

J'attends d'avoir la figure, n'ayant aucune idée de l'alignement des points A, M et B ;]

[06h54]

Comment fait on pour isérer une figure géogébra ?

[Shloub]

Je pense que tu peux prendre une capture d'écran à l'aide de la touch "Impr Ecr" ou quelque chose du style sur ton clavier, puis copier dans un logiciel de création graphique tel que MS Paint, ensuite l'enregistrer (en jpg par exemple) et suivre la procédure décrite sur ce site : http://www.mathforu.com/sujet-4932.html

[06h54]

Voila, la figure est enfin dans le message Vous pouvez la visualiser maintenant

[Zorro]

La partie grisée c'est laquelle ?

[06h54]

J'ai refait une figure avec la partie grisée mais le serveur de image hotel est occupé pour l'instant . La partie grisée est la zone au dessue des deux petits demi-cercles .

[Zorro]

Donc l'aire cherchée est égale à l'aire du grand demi-cercle - l'aire des 2 petits cercles

Commence donc par calculer les aires des petits demi-cercles.

[06h54]

L'aire du grand demi cercle = π x (10)²

D'où : π x (10)² - [ (π x²) + (π x (10-x)²) ] = S(x)

[06h54]

Chaque aire est divisé par deux, j'ai oublié de le mettre :frowning2:

[06h54]

Est ce celà ?

[Zorro]

Tu peux récrire tout cela en utilisant ( pi) , sans espace entre ( et p pour écrire plus joliment $pi$

[06h54]

L'aire du grand demi cercle = $pi$ x (10)²

D'où : $pi$ x (10)² - [ ($pi$ x²) + ($pi$ x (10-x)²) ] = S(x)

Voila

[06h54]

L'aire du grand demi cercle = $pi$ (10)²

D'où : $pi$ (10)² - [ ($pi$ x²) + ( $pi$ (10-x)²) ] = S(x)

Voila, on y voit un peu plus clair comme ça

[Shloub]

Le tout divisé par deux, non ?

[Zorro]

Et tu confonds rayon et diamètre

Le grand demi-cercle a 10 unités pour diamètre donc son rayon = ....

Le petit demi-cercle de gauche a x unités pour diamètre donc son rayon = ....

Le petit demi-cercle de droite a 10-x unités pour diamètre donc son rayon = ....

Car la formule de l'aire d'un disque de rayon R est : $pi$ R²

[06h54]

Mince .

L'aire du grand demi cercle est $pi$ (5)²

D'où $pi$ (5)² - [( $pi$ x²/2 ) + ( $pi$ ((10 - x) / 2 )² ] = S(x)

Voila

[Zorro]

Et en développant , en mettant au même dénominateur les fractions à soustraire ou à additionner, tu arrives à trouver ce qu'il faut ?

[06h54]

Je trouve n'importe quoi ... Mais pas le résultat demandé .

[Zorro]

Cela ne m'étonne pas car

1°) si x est le diamètre alors le rayon c'est x/2

et le carré du rayon c'est (x/2)² = x²/4

Donc le disque complet a pour aire $pi$ x²/4

Donc le demi-disque a pour aire ....

2°) si 10-x est le diamètre alors le rayon c'est (10-x)/2

et le carré du rayon c'est [ (10-x)/2 ]² = .......

Donc le disque complet a pour aire $pi$ * quoi ???

Donc le demi-disque a pour aire ....

[06h54]

Le diamètre du grand demi cercle est de 10 - x
Si 10-x est le diamètre alors le rayon a pour valeur (10-x) / 2
D'où le carré du rayon est de (10-x)² / 4 soit 100 - x² / 4
Donc le disque complet a pour aire $pi$ (100 - x² / 4)
⇒ L'aire du demi disque est de : [ ($pi$) (100 - x² / 4 ) ] /2

Pour le demi cercle de diamètre [AM] = x
⇒ Si x est le diamètre alors le rayon est x/2
⇒ Le carré du rayon est (x/2)² = x²/4
D'où le disque complet a pour aire $pi$ x² / 4
Par conséquent, le demi disque a pour aire ($pi$ x² / 4 ) /2

J'espère ne pas m'être tromper

[Shloub]

Tu connais les identités remarquables, la distribution ? (10-x)²≠100-x²

[06h54]

Oui (a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
(a - b) (a + b) = a² - b²

Donc ici : le carré du rayon a pour valeur (100 - 20x + x²)/4
D'où le disque complet a pour aire $pi$ (100 - 20x + x²) /4
⇒ Le demi disque a pour aire [$pi$ (100 - 20x + x²) /4)] /2

[Shloub]

Après avoir refait les calculs tu trouves la bonne formule, non ?

[06h54]

Je ne sais pas comment développer

[Shloub]

Déjà, tu peux additionner les deux formules dernièrement trouvées, ensuite tu pourras enlever la fraction /2 en divisant les coefficients du numérateur par deux. Ensuite tu pourras mettre l'aire du demi-cercle de rayon 5 sur 4 (en multipliant le numérateur du coup) et puis retirer ce que tu avais trouvé avant. Normalement tu trouveras pareil que (x(10-x))=10x-x²

[06h54]

Donc (($pi$ x²) /4 ) /2 + ($pi$ (100 - 20x + x²) /4) /2

Et je trouve (100$pi$ - 20x $pi$ + 3x²$pi$) /4
Mais je ne suis pas sûr qu'il faut développer $pi$ (100 - 20x + x²)

[06h54]

Donc (($pi$ x²) /4 ) /2 + ($pi$ (100 - 20x + x²) /4) /2

Et je trouve (100$pi$ - 20x $pi$ + 3x²$pi$) /4
Mais je ne suis pas sûr qu'il faut développer $pi$ (100 - 20x + x²)

[Shloub]

Non tu as fait des erreurs de calcul.

Regarde, je te remets sur la piste : en additionnant on trouve [$pi$/4] * [(100 - 20x +2x²)/2]

[06h54]

Et donc ensuite c'est ce résultat que l'on déduit de [$pi$ x 25 ] /2 ???

Parceque avec le résultat que vous venez de donner, nous devons, pouvons encore développer non ?

[Shloub]

On pourrait développer, oui, mais je pense pas que ce soit une bonne idée. Déjà la division par deux on peut la faire puisque tous les coefficients du polynôme au numérateur sont paires, et ensuite ton [ $pi$ * 25 ] /2 essaye de le diviser encore par 2 pour mettre $pi$/4 en facteur. Après tu pourras en effet retrancher.

(Si tu n'y arrives absolument pas, c'est pas grave, tu peux en effet tout développer, développer l'expression qu'on te demande de trouver et effectivement arriver au même résultat.)

[06h54]

J'ai fait la première partie
Mais pour le [$pi$ * 25] /2, si l'on le divise encore par deux, cela ferait
[$pi$ * 25 ] / 4 et ensuite il faudra factoriser l'expression ?

[Shloub]

Excuse-moi, je me suis mal exprimer. En effet par "diviser par deux", je voulais dire obtenir 4 au dénominateur, mais pour que cela reste égal, il faut multiplier par 2 le numérateur, donc ça nous donne [$pi$/4] * 50 - ( [$pi$/4] * [50 - 10x +x²] ). Je te laisse conclure en continuant la factorisation.

[06h54]

On trouve alors la même réponse que dans l'intitulé en dessou du 2)
A savoir $pi$ / 4 [25 - (x-5)²]

Mais pourquoi trouve t'on pas [$pi$ / 4 x] (10-x) ?

[Shloub]

On trouve ça aussi, regarde : On fait la soustraction -> [$pi$/4] * (10x - x²) et on factorise à nouveau -> [$pi$/4]x(10-x)

[06h54]

Ah effectivement

Ensuite lorsqu'il nous demande de trouver le maximum de S(x) sur l'intervalle [0 ; 10] donc sur [AB], la maximum, c'est "le point H" ?!

[Shloub]

Non, je crois qu'on te demande d'étudier la fonction et de trouver la valeur maximale prise quand x varie entre 0 et 10.

[06h54]

En fait, il faut faire plusieurs calculs avec des chiffres compris entre [0;10] avec la formule démontré précédemment ?
C'est à dire $pi$/4 x(10-x)

C'est ça ?
J'essaie de faire ça ...

[06h54]

Après nous devons résoudre le problème donné ? C'est à dire ?

2. a) Démontrer que ^MAH = ^MHB

Ici il suffit de démontrer que ABH est un triangle isocèle rectangle ou alors que ce sont des triangles semblables

Alors on a : (HM) ⊥ (AB) donc AMH = BMH = 90°
Mais après ...

[Shloub]

En fait, je crois que pour trouver le maximum, il faut que tu suives les deux méthodes proposées ;]

Alors, déjà, fais bien attention aux angles, MHB et MBH ne sont pas du tout pareils !
D'ailleurs, ABH n'est pas isocèle-rectangle.

En effet tu te trouves dans deux triangles rectangles, peut-être pourrais-tu calculer la longueur des côtés dont tu n'as pas la valeur, et ensuite utiliser un peu de trigonométrie (à priori, deux angles qui ont le même cosinus ou sinus sont égaux à ton niveau, non ?).