Comment calculer la distance d'un point à une droite

BOnsoir voila je suis actuellement en terminale S et je profite des vacances pour faire des exercices en math plus particulierement parce que c'est la ou reside mes difficultés et j'aimerais bien que vous m'expliquez ou me donnez des pistes pour comprendre et réussir cette exercice
MERCI D'AVANCE.

1)CAS PARTICULIER
Dans le plan munie d'un repère orthonomal on donne (d) d'équation x+2y-3=0 et le point A(3;-2).On veut déterminer la distance de A à la droite(d)

A)Donner un vecteur n normal à (d) et calculer une équation cartésienne de la droite ( B) passant par A et orthogonale à (d).

B) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de (d) et (B) en déduire la distance de A à (d)

2)CAS GéNéRAL: UTILISATION D'UNE AUTRE MéTHODE
Dans le plan muni d'un repère orthonormal on donne (d)d'équation ax+by+c=0 et le point A(x0;y0)

A)Donner un vecteru n normal à (d)
On appelle (B) la perpendiculaire à (d) passant par A.On note H le point d'intersection de (d) et (B) il existe donc un réel t tel que vecteur AH= t vecteur(n)

B)Ecrire les coordonnées de H en fonction de celles de A et de n en remarquant que H est sur ( B ) calculer t et montrer que AH= norme de t vecteur n

C) en déduire que la distance de A à (d) vaut (ax0+by0+c) / racine de (a^2+b^2 )

D) Retrouver le résultat de la question 1c) à l'aide de la formule.

3)UTILISATION DE LA FORMULE
Soit les points A(4;-3) B(-1;2) C(5;-2)

A)Faire une figure et montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

B) Soit H le pied de la hauteur issue de A du triangle calculer AH.

Quels résultats de cours as-tu concernant les vecteurs directeurs/normaux et les équations cartésiennes de droites ?

Ben si un vecteur directeur vaut (a;b) le vecteur normal vaut (-b;a)
équation cartésienne : (x-xa)*a + (y-ya)*b

un vecteur ne vaut pas (a;b)

un vecteur possède pour coordonnées (a;b)

Tu as pas une équation cartésienne simple de la droite dont un vecteur normal a pour coordonnées (a,b) ?

Pourrai je avoir des explications pour les questions a partir de la 2 b merci

Tu as fait un schéma ? Tu vois le lien entre A, H et le vecteur n ?

oui j'ai un schéma mais je vois pas de lien a part que AH = tn

Si AH = tn, les coordonnées de H sont (xa+...;ya+...) ?

ben je pense (xa+txn ; ya+tyn)

calculer t et montrer que AH= norme de t vecteur n

ben comme j'ai les coordonnées de H de A et de n je résoud vecteurAH=t vecteur n et j'ai t non?

Pourquoi pas, faut essayer.

Je n'arrive pas à trouver une valeur à t

vecteur AH=t vecteur n
(xh-xa)+(yh-ya)=t vecteur n
d'ou t = (xh-xa)+(yh-ya) / vecteur n

c'est ca ?

Souviens-toi de ce que tu avais dit plus tôt : " ben je pense (xa+txn ; ya+tyn) "

ben oui sa fait

(xa+ t xn - xa ) + ( ya + t yn -ya ) = t vecteur n
( t xn ) + ( t yn ) = t vecteur n
t ( xn + yn ) = t vecteur n
je bloque la

Alors attention, déjà, un vecteur, écrit sous forme de somme ça reste une somme vectorielle : xn x $→^\rightarrow$ + yn y $→^\rightarrow$ par exemple. Ensuite, je regarde ce que ça donne avec les notations du texte.

Daccord !

n(a,b) A(x0,y0) H(x0+ta;y0+tb)

Je ne sais pas si on devrait utiliser t dans l'expression des coordonnées de H, c'est peut-être ça le problème, même si je ne vois pas comment faire autrement.

L'équation de (B) serait -bx + ay +d = 0 les coordonnées de H en sont solutions, mais je vois pas bien à quoi ça mène

Mathtous, une idée peut-être ?

La en remplacant H dans l'équation je trouve
a(x0+t a ) + b ( yo +tb) +c = 0
ax0+ a t a + by0 + b t b +c = 0

d'ou a t a + b t b = -ax0- byo - c

mais la je membrouille pour isolé t
je sais pas si sa donne t = -ax0-byo- c / racine de a²+ b²

ou t = -ax0-byo - c / a²+ b²

Non, effectivement, sans la racine ça paraît pas mal.

Oui c'est bon j'ai trouver et j'ai vérifié mon résultat de la question 1c il correspond bien j'attaque la troisième partie

Parfait, bravo à toi ;]

Merci mais j'ai déja un probleme je dois montrer que le triangle est rectangle. j'essai de montrer que BC= AB+AC mais je trouve pas c'est pas bon

On peut savoir de quoi il s'agit exactement ?

Bonjour ,
Tu n'aurais pas oublié les carrés par hasard ??

Lol le dernier point de l'exercice.

3)UTILISATION DE LA FORMULE
Soit les points A(4;-3) B(-1;2) C(5;-2)

A)Faire une figure et montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

B) Soit H le pied de la hauteur issue de A du triangle calculer AH.

Ce n'est pas BC = AB + AC qu'il faut vérifier : tu oublies les carrés

Meme avec les carrées sa marche pas mais je crois pas qu'il faut utiliser ça sinon l'exercice ne s'intitulerait pas utilisation de la formule

Tu connais les coordonnées des points .
Tu as une "formule " pour calculer AB² à l'aide des coordonnées de A et B :
détaille les calculs .

Tu veux que j'utilise AB² = racine de ( xb-xa )²+ (yb - ya )²

Je parlais de la formule du 2

Sinon tu pourrais peut-être chercher l'équation d'une droite liant [disons plutôt passant par] deux de ces points pour commencer.

Attention : tu confonds un nombre , son carré , sa racine carrée :
AB² = ( xb-xa )²+ (yb - ya )² , pas de racine carrée .
Une racine carrée si tu veux AB au lieu de AB² .
La formule du 2 fait appel à l'équation d'une droite ?
Mais ici , on n'en a pas besoin .
Mais si tu préfères ...

En faite je crois qu'il faut dire ABC est rectangle si AB.AC = 0 et pour avoir les distances utilisés la formule précédente.
Mais c'est compliqué

Non , c'est simple :
Tu peux en effet utiliser le produit scalaire des deux vecteurs vectAB et vectAC ( calcule leurs composantes ) .
Ou bien utiliser la formule que je t'ai rappelée .
Choisis-en une ( une seule ) .

C bon avec les coordonnées j'ai montrer que AB.AC = 0 donc que le triangle est rectangle

AB.AC =xx'+yy' = -51+51=0
avec AB(-5;5) et AC (1;1)

C'est bien .
Mais tu as fait le mauvais choix , car pour répondre à 3)B) , il faut quand même calculer les distances .
Ce n'est pas difficile : utilise AB² = ( xb-xa )²+ (yb - ya )² , et pareil pour AC² et BC² .

Je ne voit pas à quoi sa te sert dans la question on cherche AH

La distance de (BC) à A marche aussi =p

Fais un dessin .
AH est la hauteur issue de A du triangle ABC , qui est rectangle .
Tu sais comment on calcule l'aire d'un triangle ?
Tu pourras calculer cette aire de 2 façons , quand tu auras calculé AB , AC , et BC .