propriété de la parabole (construstion des tangentes)

bonjour a tous ,
j'ai comme tout le monde un exo a faire et je n'y arrive vraiment pas , j'ai trouvé un resultat vraiment bizarre alors voila mon enoncé :
dans un repere orthonormal , P est la parabole d'équation y=x² , d est la droite d'equation y=-1/4 et F le point de coordonné (0,1/4)

determiner une équation de la tangente T à P au point M d'abscisse t
H est la projestion orthogonale de M sur d. demontere que T est la mediatrice du segment [HF]
A est un point d'abscisse a non nul et d est une droite passant pas A
prouvez que "d est tangente à P en un point d'abscisse non nul" equivaut à " d est perpendiculaire à la droite (AF)"

pour la 1, j'ai fait t(x)=(f(t)-f(to))/(t-to)
et j'ai trouvé t(x)= t+to
j'aipris m(x;y) et f'(to)=2to et j'ai toruvé T:y=2to+b et sa me semble vraiment bizarre d'autant plus que je ne comprend rien aux 2 autres questions
si vous pouviez me donné un coup de main
merci
Why_

Bonjour ,
Ce qui est bizarre , c'est que l'on ne sait pas ce que représente quelle lettre .
Notons : f(x) = x² .
La droite T a une équation de la forme y = ax+b
Pur calculer a et b , on se sert de deux choses :

la dérivée de f en t ,
les coordonnées de M ( en fonction de t ).

Il n'y a donc pas de t0 : il faut adapter les notations du cours au problème posé .

j'ai utilisé la formule de la tangente
T:y=f'(t)(x-t)+f(t)
y=2t(x-t)+t²
y=2tx-t² avec a=2t et b=t
y=t(2x-t)
sa marche ou pas???

C'est juste .
Passe à la question 2.
Mais pour la question 3 , ta phrase est incompréhensible .
Peux-tu me donner l'énoncé exact ?

J'ai bien vu la correction du 3) , mais ça ne va toujours pas : il doit manquer des informations sur A , ou sur d , ou sur les deux .

la chose qu'il y est sur d c'est que c'est la droite d'equatio y=-1/4
j'ai compris ce qu'etait f car j'avais zapé un bout de l'enoncé , mais je ne vois pas comment demontrer que T est la mediatrice

Pour la question 2 :
Commence par me donner les coordonnées de F ( c'est dans l'énoncé ) , de M , et de H .

alors F(0,1/4)
M(t,F(t))
H(t,-1/4)
c'est ça??

Oui , mais pour M , remplace f(t) par t² .
Maintenant , considère un point N quelconque sur la droite (T).
Appelons x et y ses coordonnées .
Que vaut y ?

y=2tx-t² ??

Oui ,
maintenant calcule NF² , puis NH² , en fonction de x et de t .
Il existe d'autres méthodes . Celle que je te propose est simple mais les calculs sont un peu pénibles .
Il faut quand même bien les faire .

je comprend pas se que je dois calculer

NF² .
Tu as bien une formule qui te permet de calculer la distance de deux points dont tu connais les coordonnées :
Si A(xa,ya) et B(xb,yb) , AB² = ??

NF=racine(xF-xN)²+(yF-yN)²
NF= racine (0-x)²+(1/4-(2tx-t²)²
=racine[1/16-tx+1/2t²-4t²x²-2t²x-2t^3x+t^4]

sa parait super compliqué ...

Calcule NF² au lieu de NF : ça t'évitera les racines carrées .
2)Ce n'est pas super compliqué , mais il faut faire attention : je crois que tu t'es trompé : reprends tes calculs .
Si tu n'arrives pas à calculer "d'un coup" le carré : (1/4 - 2tx +t²)² , écris-le sous forme de produit et développe terme à terme : il doit y avoir 6 produits .

NF²=(0-x)²+(1/4-(2tx-t²))²
=-x²+1/16-1tx+1/2t²+4t²x²-2t²x-2t^3x+t^4 ?

Non : il y a plusieurs erreurs , et je ne comprends pas le " -2t^3x " : il n'y a pas de "x" en exposant .

"-2t^3x" en fait c'est (-2t^3)*x dsl

Bon , mais moi je ne trouve pas de termes en $t^3$ ;
On va détailler :
NF²=(0-x)²+(1/4-(2tx-t²))²
= (-x)² + (1/4 -2tx +t²)²
ne garde pas les "petites" parenthèses
= x² + (1/4 -2tx +t²)(1/4 -2tx +t²)
x² , et pas -x²
= ...
continue

= x² + (1/4 -2tx +t²)(1/4 -2tx +t²)
= x² + (1/4)²+(1/4)(-2tx)+(1/4)t² -2tx(1/4)-2tx(-2tx)-2tx(t²)+t²(1/4)+t²(-2tx)+t²(t²)
=x²+(1/16) + (-2tx/4) + t²/4 - 2tx/4 + 4t²x² - 2t^3x + t²/4 - 2t^3x + t^4
$t^4$ - $2t^3$ x + x² + 2t²/4 + 4t²x² - $2t^3$ *x + 1/16 ?

Rebonjour ,
Je crois que c'est juste . Tu peux réduire les termes semblables .

Ensuite , calcule de même NH² : normalement , tu devrais trouver le même résultat .