équation et trinome pour un DM pour lundi



  • Voici l'éxercice :

    1. Résoudre dans R, l'équation suivante : x^4 - 3x^2 -4 = 0 (indication : on pourra poser X=x^2
    2. Résoudre dans R, l'équation suivante : x-5 sqrtsqrtx)-36 = 0 ( indication : on pourra poser X= sqrtsqrtx)

    ALors pour le 1, je trouve donc x^4-3x^2-4 = X^2 -3X-4
    Je peux dire alors que 4 est une racine évidente du trinome X^2 -3X-4=0
    et de par l'indication, X=x^2 donc x= sqrtsqrtx)= sqrtsqrt4)=2
    donc 2 est une racine du trinome de départ : x^4-3x^2 -4=0

    d'habite j'aurais utilisé la somme des racines = -b/a mais quand je vérifie, la 2è racine trouvée n'est pas bonne
    J'ai donc dit : comme tous les exposants sont paires, les nombres qui ont un exposant seront positifs. Donc -2 est aussi une racine du trinome puisque (-2)^4-3*(-2)^2 -4=0
    Pouvez vous me dire si cela est bon?? ou si je dois le reformuler ? ou autre remarque ?

    Puis pour le 2, j'ai procédé de la même façon
    j'ai donc : x-5 sqrtsqrtx)-36 = X^2 -5X-36
    je trouve 9 pour racine du trinome X^2 -5X-36 et donc 81 pour racine du trinome x-5 sqrtsqrtx)-36
    Mais pour trouver la 2è racine je suis bloqué je n'arrive pas ! je trouve -4 mais cela ne marche pas , en effet quand je trace la courbe à la calculatrice je vois que cette fonction n'est défini que sur les positifs !! donc -4 impossible
    Pouvez vous m'aider svp !! Je vous en remercie d'avance



  • Bonjour,
    La somme des racines est effectivement -b/a=3 donc la deuxième racine du trinôme X^2-3X-4 est 3-4=-1, qui est négatif. Comme tu as posé X=x^2, je suppose que tu ne t'attendais pas à trouver X négatif.
    Mais il faut bien comprendre le raisonnement.
    On cherche au départ à résoudre l'équation
    (E) : x^4-3x^2-4=0.

    Quand on pose x^2 =X, c'est un raccourci de langage pour l'équivalence logique suivante :
    "Soit x un nombre réel.
    x^4-3x^2-4=0 equiv/ il existe un nombre réel X tel que x^2 =X et tel que X^2-3X-4=0."

    Mais on sait que, quel que soit x réel, il n'existe aucun réel strictement négatif X tel que x^2 =X, donc on ne perd rien à l'équivalence en contraignant un peu le membre de droite. Ca donne :
    "Soit x un nombre réel.
    x^4-3x^2-4=0 equiv/ il existe un nombre réel X <= 0 tel que x^2 =X et tel que X^2-3X-4=0."

    Mais on connaît l'ensemble des X tels que X^2-3X-4=0, de sorte qu'on peu t récrire :
    "Soit x un nombre réel.
    x^4-3x^2-4=0 equiv/ il existe un nombre réel X <= 0 tel que x^2 =X et tel que X=4 ou -1"
    La simplification est alors évidente :
    "Soit x un nombre réel.
    x^4-3x^2-4=0 equiv/ il existe un nombre réel X <= 0 tel que x^2 =X et tel que X=4"
    Finalement x^4-3x^2-4=0 equiv/ il existe X <=0 tel que x^2 =X et X=4 equiv/ x=2 ou -2.

    Ce n'est évidemment pas comme ça qu'il faut rédiger. Il suffit de comprendre que les solutions X>=0 n'interviennent pas dans le problème. Est-ce que tu as compris pourquoi ?



  • merci beaucoup pour votre explication, le raisonnement je l'avais bien compris, donc en fait c'est juste parcequ'un carré est toujours positif et ne peut etre négatif que l'on a X <= 0 !? c'est bien cela ?
    Pouvez vous m'aider pour le deuxième aussi svp ou tout au moins me mettre sur la voie ....? merci



  • Oui, c'est cela. De la même façon, pour le deuxième exercice, tu est bien partie : il faut juste remarquer que -4<0 donc que cette racine du trinôme n'intervient pas.


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