Vecteurs et plan

Bonjour

Voila j'ai deux exercices pour un dm :
Le premier on a ABCD un parallelogramme et il faut exprimer les vecteurs AC+BD en fonction de BC. Je pense avoir trouver 2AD mais je ne vois pas comment l'expliquer

Et le deuxieme exo on a ABC un triangle avec un point D tel que AD=AB+AC
Et on doit demontrer que pour tout point M du plan : MB+MC = MD+MA
Je pense qu'il y a un rapport avec le fait qu'on utilise M avec les points qui définissent le plan mais comment l'expliquer ?

Merci d'avance

Bonjour ,
Un exercice à la fois .
Pour le premier : avec un parallélogramme , o n a des égalités de vecteurs :
ABCD est un parallélogramme , donc vectAB = ??
Et aussi : ?? = ??

vectAB=vectDC
et vect AD=BC
?

Oui , Utilise ces égalités pour calculer vectAC , puis vect BD , puis leur somme .

Désolé mais je ne vois pas :frowning2:

Tout ce que je vois c'est que AD//BC//a la troisieme car se sont des parallélogramme et donc ils sont aussi égaux

La relation de Chasles :
vectAC = vectAB + ...

vectAC= vectAB+vectBC
et vectBD= vectBA+vectAD

Oui , maintenant , ajoute .

AC+BD=AB+BC+BA+AD
AB+BA+BC+AD
= BC+AD

or je sais : ABCD est un parallelogramme
donc vectAD=vectBC
J'en déduis que AC+BD= 2BC

C'est bon ? Je pense que niveau rédaction c'est pas terrible

C'est bon.
Pour la rédaction , il faudra bien mettre les flèches sur les vecteurs afin qu'on ne les prenne pas pour des distances .
Et n'oublie pas le "=" à la deuxième ligne .

Tu peux passer au n° 2. Il s'agit bien de vecteurs évidemment ?

Merci

Oui pour le deuxieme il s'agit bien de vecteurs

En utilisant vectAD = vectAB + vectAC , calcule vectBD .

vectBD = vectBA+vectAD
= vectBA+vectAB+vectAC
=vectAC

dnc vectBD=AC

??

vectBD = vectAC , c'est juste .
Mais cela , ça prouve que ABDC est un parallélogramme ( attention à l'ordre des lettres ) , ce qui te permet , si tu en as besoin , d'écrire d'autres égalités .
Complète le dessin en plaçant D au bon endroit .
Maintenant , tu peux calculer vectMB + vectMC en utilisant la relation de Chasles et les égalités provenant de ton parallélogramme .

Je n'y arrive pas je n'arrive pas a voir le rapport entre vectAB=vectCD et vectAC=vect DB et je ne comprends pas pourquoi on fait cela :frowning2:

On te demande de démontrer une égalité :
vectMB + vectMC = vectMD + vectMA
Pour démontrer cette égalité , calcule l'un des membres , tu verras bien si tu trouves ce qui est demandé :
vectMB + vectMC = vectMD + vectDB + ....

On remplace vectMA par vectDB+vect DC ?

Ce n'est pas logique : il n'y aurait plus de M .
Effectue le calcul que je te propose :
vectMB + vectMC = vectMD + vectDB + ....
Tu vois bien que j'ai utilisé la relation de Chasles pour vectMB , fais pareil pour vectMC

vectMB+vectMC=vectMD+vectDB+vectMA+vectAC

Oui , mais on a vu plus haut que vectAC = vectBD , donc le calcul se simplifie .

vectMB+vectMC=vectMD+vectMA

a-t-on fini la démonstration ? Et je ne comprend pas pourquoi cela prouve si on a un point M quelconque on a cela.

Oui , l'égalité est démontrée .
Et elle est démontrée
pour n'importe quelpoint M , puisqu'aucune condition n'a été posée sur M .

OK merci beacoup de m'avoir aider et d'avoir eu de la patience