Fonction dérivable sur [-1;1] Proposition a justifier

Bonjour a tous!

Il faut que je démontre les propostions suivantes, je sais deja si elles sont vraies ou fausses, (si elles sont vraies alors je dois donner une démonstration, si elles sont fausse un contre-exemple).

I) Soit f une fonction dérivable sur [-1;1]

Si f'(0) = 0 alors f admet un extremum en 0
Si f est strictement croissante sur I alors l'equation f(x)= 0 admet une unique solution dans I
SI f est impaire, alors f(0)=0
f est bornée sur I

Ce que j'ai fais:

1)c'est FAUX
mais pour le contre exemple... je peux prendre f(x)=x? Comme ca f'(0)=0 et elle f n'admet pas d'extremum en 0

2)c'est FAUX
je peux prendre comme contre exemple f(x)= X^3+3 qui est croissante et qui n'admet pas de solution pour f(x)=0 dans I ?!

VRAI
la je sais pas comment démontrer, j'ai commencé par ecrire que si f est impaire, alors f(-x)= -f(x) mais ca ne m'avance pas vraiment...
VRAI
la aussi je bloque pour la démonstration...

Merci pour votre aide !

Bonjour ,
Pour le 3) :
Ton raisonnement est correct :
Par définition , f(-x) = -f(x)
pour tout xde [-1 ; +1] ,
donc en particulier pour x = 0 :
On a donc : f(-0) = ...

f(-0) = -f(0) ? et ensuite?

Merci pour ton aide!

f(-0) = f(0) , non ?
Donc , f(0) = -f(0) , ce qui prouve ...

que f est aussi paire?!
mais en quoi je sais que f(0)=0 alors?

oulala, je crois que je suis vraiment a coté de la plaque la!! ^^

f n'est pas paire . Tu te laisses démonter par ce qui est évident :
f(
-0) = -f(0) , mais
-0=
0, donc
f(
0) = -f(0) .
Ce qui veut dire que f(0) est égal à son opposé .
Quel est le seul nombre égal à son opposé ?

0?

j'ai compris!
c'est bonb pour la 3) merci bcp!
Par contre pour la 4) je n'avance pas...

je sais que si elle est dérivable alors elle est continue sur I, mais comment savoir qu'elle est bornée?

Merci!

Si la fonction n'était pas bornée , il existerait un nombre a de [-1 ; +1] tel que f(x) tendrait vers ±∞ lorsque x tendrait vers a .
Mais alors on ne pourrait pas définir f(a) .
Il suffit donc que f soit définie sur [-1 ; +1] .
Attention , il est indispensable que ce soit l'intervalle
fermé[-1 ; +1] et non pas l'intervalle ouvert ]-1 ; +1[ , sinon il n'y aurait pas contradiction .

Est-ce qu'il y a dans ton cours un résultat concernant les fonctions continues sur un intervalle
fermé?

j'ai que f est continue en a si lim f(x) quand x tend vers a = f(a)

C'est la définition d'une fonction continue .
Mais as-tu un résultat du genre :
Si une fonction est continue sur un intervalle
fermé, alors elle est bornée et atteint ses bornes ?

non, j'ai rien du genre ...

Le théorème auquel je pense n'est donc pas au programme de TS .
Pas grave , tu peux utiliser le raisonnement que j'ai fait plus haut .
Est-ce que tu le comprends ?

pas vraiment

mathtous
Si la fonction n'était pas bornée , il existerait un nombre a de [-1 ; +1] tel que f(x) tendrait vers ±∞ lorsque x tendrait vers a .
Mais alors on ne pourrait pas définir f(a) .
Il suffit donc que f soit définie sur [-1 ; +1] .
Attention , il est indispensable que ce soit l'intervalle
fermé[-1 ; +1] et non pas l'intervalle ouvert ]-1 ; +1[ , sinon il n'y aurait pas contradiction .

Est-ce qu'il y a dans ton cours un résultat concernant les fonctions continues sur un intervalle
fermé?

Normalement , on devrait pouvoir calculer l'image par f de n'importe quel élément de [-1 ; +1].
Le raisonnement ci-dessus ( par l'absurde ) montre que ce ne serait pas le cas si f n'était pas bornée . Fais un dessin avec f(x)→ ∞ quand x → a :
on ne peut pas dire à quoi serait égal f(a) .

ok je vois, je peux le redgier ainsi sur ma copie?

"Si la fonction n'était pas bornée , il existerait un nombre a de [-1 ; +1] tel que f(x) tendrait vers ±∞ lorsque x tendrait vers a .
Mais alors on ne pourrait pas définir f(a) ."

Tu peux toujours .
Tu me diras plus tard si ton professeur l'accepte ou pas .

ok merci a toi !