Images de droites et de cercles par une transformation du plan complexe

Voila, j'ai cette exercice a faire mais j'ai beaucoup de mal a commencer ! je ne sais pas trop par quoi commencer, dois je remplacer z par x+iy ? comment puis je représenter cette ensemble ?? merci de m'aider !
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Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct .
Soient a et b deux nombres réels et soit α un nombre complexe.
On se propose d’étudier les ensembles notés Ea,b,α constitués des points M d’affixe z tels que :
. azz(barre)+alpha.z+alpha barre. z barre=b

Déterminer et représenter les ensembles Е0,4,1+2i , Е0,6,1 et Е0,4,i.

Montrer que Е0,b,α est une droite du plan complexe.

Démontrer que les droites D et Δ d’équations respectives 2x - 3y - 1 = 0 et x = 1 sont des ensembles Е0,b,α.
Préciser pour chacune d’elles les valeurs de b et de α.

Déterminer et représenter les ensembles Е1,2,1+ i , Е1,-2,0, Е1,-1,i et Е1,0,i.

Montrer que Е1,b,α est un cercle du plan complexe.

Démontrer que le cercle C1 de centre Ώ1(1 ; -2) et de rayon 2 et le cercle C2 de centre Ώ2(-2 ;1) et de rayon sont des ensembles Е1,b,α .
Préciser pour chacun les valeurs de b et α.

II) Image d’une droite et d’un cercle par une transformation.
Soit f la fonction de C dans C qui à tout nombre complexe z non nul associe z'=z-1/z
Soit M(z) un point du plan d’affixe z.
Soit M'(z') l’image par f de M.

Ecrire z en fonction de z' si c’est possible.
Tout point M' du plan est-il image d’un point M du plan ?

Images de droites

Démontrer que tout point M de la droite Δ d’équation (voir I-3) a son image sur un cercle Е1,b,α que l’on précisera.

Tout point de ce cercle est-il l’image d’un point de Δ ?

Quelle est l’image de Δ par f ?

Généralisation : reprendre la question 2. pour une droite verticale ne passant pas par l’origine.

Images de cercles

Soit C2 le cercle (étudié en I-6) d’équation x2 + y2 + 4x - 2y = 0, de centre Ω(2 ; -1) et passant par O.
Démontrer que tout point de C2 a son image sur une droite Е0,b,α que l’on précisera.

Tout point de cette droite est-il l’image d’un point de C2 ?

Quelle est l’image de C2 par f ?

Généralisation : reprendre la question 4. pour un cercle centré sur l’axe horizontal et passant par l’origine.
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voici le lien de l'exo :
http://mathematiques.ac-dijon.fr/ressources/liaisons_ts/image_droites_cercles.htm

Bonjour ,
Tu pourras remplacer z par x + iy si tu en as besoin .
Mais commence par trouver une condition sur les éléments de E0,4,1+2i .

(2i+1)(x+iy)+( -2i+1)(x-iy)=4 ?

-4y+2x=4 ??

Oui , tu pourrais tout diviser par 2.
En tout cas , ce que tu trouves est bien l'équation d'une droite .
Continue .

Démontrer que le cercle C1 de centre Ώ1(1 ; -2) et de rayon 2 et le cercle C2 de centre Ώ2(-2 ;1) et de rayon sont des ensembles Е1,b,α .
Préciser pour chacun les valeurs de b et α.

Il manque le rayon de C2.

z'=z-1/z :
Est-ce z' = z - (1/z) ou est-ce z' = (z-1)/z ?

Merci de préciser .

c'est z'= (z-1)/z

Merci , et pour le rayon de C2 ?

la 1er droite est y=1/2x-1 ,

apres x=3 , apres y=-2

pour la deuxieme question je trouve, y = -xx'-b/(2y'), d'ou l'équation de droite

rayon C1 de rayon 2 et C2 de rayon √5

la 1er droite est y=1/2x-1 ,

apres x=3 , apres y=-2
Cela est juste .

Ensuite , il faudrait que tu précises ce que représentent x' et y' : il n'en est pas question dans l'énoncé .

x'+iy' correspondent au complexe alpha

comment puis prouver que les droites 2x-3y-1=o et x=1 sont des ensembles de E ?

Avant , il faut reprendre la question 2 : y = -xx'-b/(2y')

je ne trouve pas comme toi , vérifie . Ne manque-t-il pas des parenthèses ? Et vérifie aussi les signes .

mathtous
Avant , il faut reprendre la question 2 : y = -xx'-b/(2y')

je ne trouve pas comme toi , vérifie . Ne manque-t-il pas des parenthèses ? Et vérifie aussi les signes .

c bien xx'+y= -b/(2y') ??

Non : peux-tu détailler tes calculs ?

(x'+iy')(x+iy)+(x'-iy')(x-iy)=b

2(xx'-yy')=b

xx'-yy'=b/2

c bon?

Cette fois , oui .
Mais change tes notations : abandonne x' et y' , prends u et v à la place , car tu auras sans doute besoin des lettres x' et y' plus loin .

Donc : ux - vy = b/2 .

y= - ux - b/ ( 2v )

???

Tu refais apparemment les mêmes erreurs de calcul .
Quel besoin as-tu d'écrire l'équation sous la forme y = ... ??
Gardel'équation sous la forme ux - vy = b/2 , et passe à la question suivante .

ok, comment je m'y prend ?

Compare l'équation de D avec l'équation de la droite E0,b,α : ux - vy = b/2 .
Tu verras immédiatement les valeurs de u,v, b , donc de α et b .
Puis fais la même chose pour Δ .

u=2
v=3
b=2

donc alpha= 2+3i et b=2

et pour x = 1

u=1
v=o
b=2

donc alpha égale 1 et b = 2

C'est juste .
Je vais devoir me déconnecter pour ce soir .
A+ si d'ici là tu n'as pas avancé ( mais ça devrait aller mieux maintenant que tu as vu le principe du problème ).