Images de droites et de cercles par une transformation du plan complexe



  • Voila, j'ai cette exercice a faire mais j'ai beaucoup de mal a commencer ! je ne sais pas trop par quoi commencer, dois je remplacer z par x+iy ? comment puis je représenter cette ensemble ?? merci de m'aider !
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    Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct .
    Soient a et b deux nombres réels et soit α un nombre complexe.
    On se propose d’étudier les ensembles notés Ea,b,α constitués des points M d’affixe z tels que :
    . azz(barre)+alpha.z+alpha barre. z barre=b

    Déterminer et représenter les ensembles Е0,4,1+2i , Е0,6,1 et Е0,4,i.

    Montrer que Е0,b,α est une droite du plan complexe.

    Démontrer que les droites D et Δ d’équations respectives 2x - 3y - 1 = 0 et x = 1 sont des ensembles Е0,b,α.
    Préciser pour chacune d’elles les valeurs de b et de α.

    Déterminer et représenter les ensembles Е1,2,1+ i , Е1,-2,0, Е1,-1,i et Е1,0,i.

    Montrer que Е1,b,α est un cercle du plan complexe.

    Démontrer que le cercle C1 de centre Ώ1(1 ; -2) et de rayon 2 et le cercle C2 de centre Ώ2(-2 ;1) et de rayon sont des ensembles Е1,b,α .
    Préciser pour chacun les valeurs de b et α.

    II) Image d’une droite et d’un cercle par une transformation.
    Soit f la fonction de C dans C qui à tout nombre complexe z non nul associe z'=z-1/z
    Soit M(z) un point du plan d’affixe z.
    Soit M'(z') l’image par f de M.

    Ecrire z en fonction de z' si c’est possible.
    Tout point M' du plan est-il image d’un point M du plan ?

    Images de droites

    Démontrer que tout point M de la droite Δ d’équation (voir I-3) a son image sur un cercle Е1,b,α que l’on précisera.

    Tout point de ce cercle est-il l’image d’un point de Δ ?

    Quelle est l’image de Δ par f ?

    Généralisation : reprendre la question 2. pour une droite verticale ne passant pas par l’origine.

    Images de cercles

    Soit C2 le cercle (étudié en I-6) d’équation x2 + y2 + 4x - 2y = 0, de centre Ω(2 ; -1) et passant par O.
    Démontrer que tout point de C2 a son image sur une droite Е0,b,α que l’on précisera.

    Tout point de cette droite est-il l’image d’un point de C2 ?

    Quelle est l’image de C2 par f ?

    Généralisation : reprendre la question 4. pour un cercle centré sur l’axe horizontal et passant par l’origine.
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    voici le lien de l'exo :
    http://mathematiques.ac-dijon.fr/ressources/liaisons_ts/image_droites_cercles.htm



  • Bonjour ,
    Tu pourras remplacer z par x + iy si tu en as besoin .
    Mais commence par trouver une condition sur les éléments de E0,4,1+2i .



  • (2i+1)(x+iy)+( -2i+1)(x-iy)=4 ?

    -4y+2x=4 ??



  • Oui , tu pourrais tout diviser par 2.
    En tout cas , ce que tu trouves est bien l'équation d'une droite .
    Continue .



  • Démontrer que le cercle C1 de centre Ώ1(1 ; -2) et de rayon 2 et le cercle C2 de centre Ώ2(-2 ;1) et de rayon sont des ensembles Е1,b,α .
    Préciser pour chacun les valeurs de b et α.

    Il manque le rayon de C2.

    z'=z-1/z :
    Est-ce z' = z - (1/z) ou est-ce z' = (z-1)/z ?

    Merci de préciser .



  • c'est z'= (z-1)/z



  • Merci , et pour le rayon de C2 ?



  • la 1er droite est y=1/2x-1 ,

    apres x=3 , apres y=-2

    pour la deuxieme question je trouve, y = -xx'-b/(2y'), d'ou l'équation de droite



  • rayon C1 de rayon 2 et C2 de rayon √5



  • la 1er droite est y=1/2x-1 ,

    apres x=3 , apres y=-2
    Cela est juste .

    Ensuite , il faudrait que tu précises ce que représentent x' et y' : il n'en est pas question dans l'énoncé .



  • x'+iy' correspondent au complexe alpha

    comment puis prouver que les droites 2x-3y-1=o et x=1 sont des ensembles de E ?



  • Avant , il faut reprendre la question 2 : y = -xx'-b/(2y')

    je ne trouve pas comme toi , vérifie . Ne manque-t-il pas des parenthèses ? Et vérifie aussi les signes .



  • mathtous
    Avant , il faut reprendre la question 2 : y = -xx'-b/(2y')

    je ne trouve pas comme toi , vérifie . Ne manque-t-il pas des parenthèses ? Et vérifie aussi les signes .

    c bien xx'+y= -b/(2y') ??



  • Non : peux-tu détailler tes calculs ?



  • (x'+iy')(x+iy)+(x'-iy')(x-iy)=b

    2(xx'-yy')=b

    xx'-yy'=b/2

    c bon?



  • Cette fois , oui .
    Mais change tes notations : abandonne x' et y' , prends u et v à la place , car tu auras sans doute besoin des lettres x' et y' plus loin .

    Donc : ux - vy = b/2 .



  • y= - ux - b/ ( 2v )

    ???



    1. Tu refais apparemment les mêmes erreurs de calcul .
    2. Quel besoin as-tu d'écrire l'équation sous la forme y = ... ??
      Gardel'équation sous la forme ux - vy = b/2 , et passe à la question suivante .


  • ok, comment je m'y prend ?



  • Compare l'équation de D avec l'équation de la droite E0,b,α : ux - vy = b/2 .
    Tu verras immédiatement les valeurs de u,v, b , donc de α et b .
    Puis fais la même chose pour Δ .



  • u=2
    v=3
    b=2

    donc alpha= 2+3i et b=2



  • et pour x = 1

    u=1
    v=o
    b=2

    donc alpha égale 1 et b = 2



  • C'est juste .
    Je vais devoir me déconnecter pour ce soir .
    A+ si d'ici là tu n'as pas avancé ( mais ça devrait aller mieux maintenant que tu as vu le principe du problème ).


 

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