Une ligne de niveau



  • " Bonjour j'ai un exercice à faire en DM.
    Jai réussi à faire le 1°a) mais je 'arrive pas à faire la suite.
    Voici l'énoncé : "

    A et B sont 2 points distincts du plan.
    α,β et k sont 3 réels tels que α+β≠0

    On cherche à déterminer l'ensemble Γ des points M du plan tels que :
    αMA²+βMB²=k

    1° Etude Générale.

    a) Soit G barycentre du système: {(A;α),(B;β)}
    En écrivant ^\rightarrowMA = ^\rightarrowMG+ ^\rightarrowGA et une égalité identique pour ^\rightarrowMB,

    (MG, GA, MG, MB sont des vecteurs)
    montrer que :
    αMa²+βMB²=(α+β)MG²+αGA²+βGB² .

    "cette démonstration là j'ai réussi à la faire c'est le reste que je n'arrive pas"

    **b)**En déduire que
    M∈Γ ⇔ MG² = (k-αGA² - βGB²)/(α+β) (excusez-moi je n'ai pas trouvé coment faire la fraction)

    Discuter alors de la nature de Γ selon la valeur de k-αGA²-βGB² .

    2° Étude d'un exemple

    On donne AB=10, α=2, β=3 et k=165.
    Déterminer et construire l'ensemble Γ

    "Merci d'avance pour votre aide "



  • salut

    M appartient à Gamma si et seulement si αMA²+βMB² = k

    or αMa²+βMB² = (α+β)MG²+αGA²+βGB²

    donc k = αMa²+βMB² = (α+β)MG²+αGA²+βGB²

    il reste à exprimer MG², non ?



  • okok ,

    donc si k - αGA² - βGB² < 0, M n'existe pas
    si k - αGA² - βGB² = 0, M est G
    si k - αGA² - βGB² > 0, M est un cercle

    Mais je ne vois pas comment procéder pour l'application :
    " On donne AB=10, α=2, β=3 et k=165.
    Déterminer et construire l'ensemble Γ "



  • re.

    dans MG² = (k-αGA² - βGB²)/(α+β)

    tu remplaces sachant que AB=10, α=2, β=3 et k=165

    ah oui, il faut trouver GA² et GB² en fonction de AB avant !



  • on trouve GA² et GB² avec les formules du barycentre ?



  • exprime vect GA en fonction de vect AB puis prends les normes



  • vectGA=vectGB-vectAB

    vectGB=vectGA+vectAB ??

    Mais pour les normes ?



  • non ; cf paragraphe 3 de ce document.



  • Je peux faire :

    AG=(β)/(α+β)AB
    AG=3/5 AB
    AG=3/5 x 10
    AG=30/5 = 6
    AG²=36



  • idem avec GB et tu remplaces cf post de 16:17.

    @ toi



  • donc GB=2/5BA
    GB = 20/5 = 4
    GB²=16



  • continue !



  • Je remplace tout dans l'expression :MG² = (k-αGA² - βGB²)/(α+β) et je trouve le rayon du cercle Γ et de centre G



  • ça marche ?



  • oui MG² = 9
    donc MG =3

    l'ensemble Γ est un cercle de centre G et de rayon 3

    Merci beaucoup pour aide !



  • je t'en prie !


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