Une ligne de niveau

" Bonjour j'ai un exercice à faire en DM.
Jai réussi à faire le 1°a) mais je 'arrive pas à faire la suite.
Voici l'énoncé : "

A et B sont 2 points distincts du plan.
α,β et k sont 3 réels tels que α+β≠0

On cherche à déterminer l'ensemble Γ des points M du plan tels que :
αMA²+βMB²=k

1° Etude Générale.

a) Soit G barycentre du système: {(A;α),(B;β)}
En écrivant $→^\rightarrow$ MA = $→^\rightarrow$ MG+ $→^\rightarrow$ GA et une égalité identique pour $→^\rightarrow$ MB,

(MG, GA, MG, MB sont des vecteurs)
montrer que :
αMa²+βMB²=(α+β)MG²+αGA²+βGB² .

"cette démonstration là j'ai réussi à la faire c'est le reste que je n'arrive pas"

**b)**En déduire que
M∈Γ ⇔ MG² = (k-αGA² - βGB²)/(α+β) (excusez-moi je n'ai pas trouvé coment faire la fraction)

Discuter alors de la nature de Γ selon la valeur de k-αGA²-βGB² .

2° Étude d'un exemple

On donne AB=10, α=2, β=3 et k=165.
Déterminer et construire l'ensemble Γ

"Merci d'avance pour votre aide "

salut

M appartient à Gamma si et seulement si αMA²+βMB² = k

or αMa²+βMB² = (α+β)MG²+αGA²+βGB²

donc k = αMa²+βMB² = (α+β)MG²+αGA²+βGB²

il reste à exprimer MG², non ?

okok ,

donc si k - αGA² - βGB² < 0, M n'existe pas
si k - αGA² - βGB² = 0, M est G
si k - αGA² - βGB² > 0, M est un cercle

Mais je ne vois pas comment procéder pour l'application :
" On donne AB=10, α=2, β=3 et k=165.
Déterminer et construire l'ensemble Γ "

re.

dans MG² = (k-αGA² - βGB²)/(α+β)

tu remplaces sachant que AB=10, α=2, β=3 et k=165

ah oui, il faut trouver GA² et GB² en fonction de AB avant !

on trouve GA² et GB² avec les formules du barycentre ?

exprime vect GA en fonction de vect AB puis prends les normes

vectGA=vectGB-vectAB

vectGB=vectGA+vectAB ??

Mais pour les normes ?

non ; cf paragraphe 3 de ce document.

Je peux faire :

AG=(β)/(α+β)AB
AG=3/5 AB
AG=3/5 x 10
AG=30/5 = 6
AG²=36

idem avec GB et tu remplaces cf post de 16:17.

@ toi

donc GB=2/5BA
GB = 20/5 = 4
GB²=16

continue !

Je remplace tout dans l'expression :MG² = (k-αGA² - βGB²)/(α+β) et je trouve le rayon du cercle Γ et de centre G

ça marche ?

oui MG² = 9
donc MG =3

l'ensemble Γ est un cercle de centre G et de rayon 3

Merci beaucoup pour aide !

je t'en prie !